Анварбековна фарангиз из высшей математики

lim PF ( x)  F ( x)    1 при любом   0.

n
n  
(11.2)
С другой стороны, из определения функции Fn ( x) вытекает, что она обладает всеми свойствами F (x):

• значения эмпирической функции принадлежат отрезку

[0, 1];

• Fn ( x) — неубывающая функция;
• если x1 — наименьшая варианта, то Fn ( x)  0 при x  x1 ; если xk — наибольшая варианта, то Fn ( x)  1 при x  xk .

следует функции
целесообразность использования распределения выборки для
представления теоретической функции
Отсюда эмпирической приближенного распределения
генеральной совокупности. Другими словами,
эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.
Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данному
распределению выборки:
Т а б л и ц а 11.3

xi	1	4	8
ni	9	3	18

Решение. Найдем объем выборки: 9  3 18  30. Наименьшая варианта равна 1, следовательно,
Fn ( x)  0 при x  1.
Значение X  4 , а именно x1  1, наблюдалось 9 раз, следовательно,
Fn ( x)  9 30  0,3 при 1  x  4.
Значения X  8, а именно x1  1 и x2  4 , наблюдались
9  3  12 раз, следовательно,
Fn ( x)  12 30  0,4 при 4  x  8.
Так как наибольшая варианта равна 8, то
Fn ( x)  1 при x  8.
Искомая эмпирическая функция имеет вид

0	при	x  1
0,3	при	1  x  4
 0,4 1	при при	4  x  8 x  8

Fn ( x) 
.
Рис. 11.1.
Статистическое распределение графически можно изобразить различными способами, в частности, в виде полигона и гистограммы.
Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1; n1 ) , ( x2 ; n2 ) , ... , ( xk ; nk ) . Для построения
полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi , а на оси ординат — соответствующие им частоты ni . Точки ( xi ; ni )
соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1; W1 ) , ( x2 ; W2 ) , ... , ( xk ; Wk )
. Полигон относительных частот строится аналогичным полигону частот образом. На рис. 11.2 изображен полигон относительных частот следующего распределения:
Т а б л и ц а 11.4

xi	2	4	6	8
Wi	0,1	0,5	0,25	0,15

0
4
8
1
График этой функции изображен на рис. 11.1.
F ( x)
1
0,4
0,3
x
Рис. 11.2.
В случае непрерывного признака
целесообразно
строить
гистограмму, для чего интервал,
в котором заключены
все
наблюдаемые значения признака,
разбивается на несколько
частичных
интервалов длиной h и для каждого частичного
интервала находится ni — сумма частот вариант, попавших в i-й интервал.
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению ni h .
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс следует отложить частичные интервалы, а над ними провести отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni h .
Площадь i-го частичного прямоугольника равна h ni h  ni — сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему
выборки.
Т а б л и ц а 11.5

Частичный интервал длиною h = 5	Сумма частот вариант частичного интервала ni	Плотность частоты ni h
5 — 10	4	0,8
10 — 15	6	1,2
15 — 20	16	3,2
20 — 25	36	7,2
25 — 30	24	4,8
30 — 35	10	2,0
35 — 40	4	0,8