Анварбековна фарангиз из высшей математики

ФЕРГАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФАКУЛЬТЕТ АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ СТУДЕНТ АРХИТЕКТУРЫ 96-21
АНВАРБЕКОВНА ФАРАНГИЗ
ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ПОДГОТОВЛЕНО ПРЕЗЕНТАЦИЕЙ
Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма
План:

• Статистическое распределение выборки.
• Эмпирическая функция распределения.
• Полигон и гистограмма.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка. При этом пусть значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 — n2 раз, ... , xk — nk раз и т.д.; ni  n является объемом выборки.
Наблюдаемые значения xi называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,
— вариационным рядом. Числа наблюдений ni называются
частотами, а их отношения к объему выборки ni n  Wi —
относительными частотами.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. В этом случае в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал. При этом сумма частот должна быть равна объему выборки, а сумма относительных частот — единице.
В теории вероятностей под распределением понимается соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами).
Пример 1. Задано распределение частот выборки объема
n  20:
Т а б л и ц а 11.1

xi	3	5	10
ni	7	8	5

Написать распределение относительных частот.
Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:
W1  7 20  0,35 , W2  8 20  0,4 , W3  5 20  0,25 .
Напишем распределение относительных частот:
Т а б л и ц а 11.2

xi	3	5	10
Wi	0,35	0,4	0,25

К о н т р о л ь: 0,35 + 0,4 + 0,25 = 1.
количественного признака Х. Обозначим через nx
Пусть известно статистическое распределение частот
число
наблюдений, при которых наблюдались значения признака, меньшие х, а через n — общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота события X  x равна nx n . При изменении
x изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота
nx n есть функция от х.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция Fn ( x) , определяющая для каждого значения х относительную частоту события X  x , т.е.
(11.1)
Fn ( x)  nx n ,
где nx — число вариант, меньших х; n — объем выборки.
Функция Fn ( x) называется эмпирической, потому что она находится эмпирическим (опытным) путем.
В отличие от эмпирической функции распределения выборки
функция распределения F (x) генеральной
совокупности
называется теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (x) определяет вероятность события
X  x, а эмпирическая функция Fn ( x) определяет относительную частоту этого же события.
Из закона больших чисел в форме Бернулли (теорема 9.2) следует, что при больших n относительная частота события X  x ,
т.е. Fn ( x) и вероятность этого же события F (x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что