Apolloniy teoremalari

APOLLONIY TEOREMALARI
Yuqorida biz ellips uchun appolloniy teoremalarini isbotlagan edik. Endi giperbola uchun Apolloniy teoremalarini hisoblash masalasini to`xtaylik. Buning uchun quyidagi xulosani boshchilikka olish zarur bo`lib topiladi: agar giperbolaning diametrining bittasi, masalan, y=kx diametri

Giperbolani kesib o`tsa (haqiqiy diametr), u yerda unga qo`shma bo`lg`an diametr (mavhum diametr) giperbolani kesib o`tmaydi. Birinchi holda haqiqiy diametr bilan giperbolaning keshishish nuqtalarining koordinatalari va y
bo`lishi aniq, bu yerda, albatta bo`ladi.
Ikkinchi holda mavhum diametr berilgan giperbola bilan qo`shma bo`lgan

giperbolani kesib o`tadi.

Haqiqatan ham,
sistemasidan ,
bo`lgani uchun, sistemaning ildizlari haqiqiy sonlar bo`ladi, bu yerda

Haqiqiy diametrning uzunligi (ya`ni uning berilgan giperbola bilan kesishish nuqtalarining oralig`i) 2a’ bilan, hamda mavhum diametrining uzunligi (ya`ni qo`shma diametrining qo`shma giperbola bilan kesishish nuqtalarining oralig`i) 2b’ bilan belgilaymiz va mos turda quyidagicha yozamiz:
,

Shuning bilan birga qo`shma diametrlari orasidagi burchakni bilan belgilasak, unda quyidagi formula kelib chiqadi:
,
(ildiz belgisini + bilan olamiz, sababi bu yerda ). deb hisoblab, ning hamda ning shu topilgan qiymatlarini va ifodalarga qo`yamiz va kerakli akslantirishlarni bajargandan keyin quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:

.
Bu tengliklar bizga giperbola uchun Apolloniy teoremalari deb atalgan quyidagi ikki teoremalarni beradi.
1.Giperbolaning o`zaro qo`shma ikki diametrining ustiga yasalgan kvadratlarining yuzalarining ayirmasi uning o`qlarining ustiga yasalgan kvadratlarning yuzalarining ayirmasina teng bo`ladi.
2.Giperbolaning o`zaro qo`shma ikki diametrining ustiga yasalgan parallellogramlarning yuzasi uning o`qlarining ustiga yasalgan to`g`rito`rtburchakning yuzasiga teng bo’ladi.