Arifmetik vektor fazo va unga misollar

Keywords: arithmetic vector space, vector, zero vector, linear operations on vectors, scalar product of vectors, vector length, angle between vectors, triangle inequality, Koshi-Bunyakovsky inequality.


1- taʻrif. ⁿ ta sonning tartiblangan tizimiga ⁿ oʻlchovli vektor deyiladi.

Vektorlarni lotin alifbosining bosh harflari bilan
A, B, ..., X , Y ,...
koʻrinishda

belgilaymiz va quyidagi bir ustundan iborat matritsa koʻrinishida yozamiz:

 ^x₁ 
 _x 
_{X }  ² 

 _x 

Izoh:
 n  _.

1. 
   Amaliyotda foydalaniladi.
   

A  (a₁, a₂,..., a_n )
shakldagi satr matritsa vektorlardan ham

2. 
   Ba’zida vektorlar matritsalardan farq qilishi uchun lotin alifbosining kichik harflari bilan ham belgilanishi mumkin.
   
3. 
   Oldingi mavzularda ikki va uch oʻlchovli geometrik vektorlar oʻrganilgan. Bu mavzuda oʻrganiladigan vektorlar bu vektorlarning umumlashmasidan iboratdir.
   

ⁿ oʻlchovli vektorlar ustida qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari xuddi
matritsalardagi kabi aniqlanadi.

1. ^X

^vaY vektorlarning yigʻindisi, deb shunday bir ^{C  X  Y}
vektorga

aytiladiki, bu vektor quyidagicha aniqlanadi:
 ^x₁   ^y₁   ^x₁ ^{ y}₁ 

 _x   _y
  _x

• 
  y ^
  

C  X
 Y  ^
2  _ 
²  _ 
2 2 _

     

 _x   _y
  _{x  y} 

 n  
n   n n  _;

2. 
   ^X vektorning ^ songa koʻpaytmasi quyidagicha aniqlanadi:
   

 ^x₁   ^{ x}₁ 
 _x   _x 

X   ^
2  _ 
2 _.

   
 _x   _x 
 n   n 
Aniqlanishiga koʻra ikkita ⁿ oʻlchovli vektorlar yigʻindisi, shuningdek, vektorni songa koʻpaytirish natijasida yana ⁿ oʻlchovli vektor hosil boʻladi, yaʻni ⁿ oʻlchovli vektorlar toʻplami kiritilgan bu amallarga nisbatan yopiq toʻplam boʻladi.

1. 
   misol. Quyidagi vektorlar uchun ^{5A  7B  2A}
   

ni toping:

 ²   ^1
 ₅   ₅ 
A  ^{ }; B  ^{ }.
^ 3 ^{ } 6 ^

Yechish.
   

4 7
   

 ²   ^1 
2 _{ } 1_

 ₅   ₅   ₅   ₅₀ 
5A  7B  2 A  5^{ }  7^{ }  2^{ }  ^{ }.
^ 3 ^{ } 6 ^{ } 3 ^{ } 51^

4 7 4 37
       
       
Vektorlar ustida kiritilgan bu chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega:
₁₎ X  Y  Y  X ;
₂₎ X  (Y  Z )  ( X  Y )  Z;

3. 
   ^X
   

   X ,
bunda
 (0,0,...,0)^T _;

3. ^X

 ( X )  ;

₅₎ 1 X  X ;
₆₎ (   ) X   X   X ,
₇₎  ( X  Y )  X  Y;

bunda ^ va ^ ixtiyoriy sonlar;

₈₎  ( X )  ( ) X .
bu yerda,
^{X ,Y} va ^{Z n} oʻlchovli vektorlar.

2. 
   ta’rif. Barcha ⁿ oʻlchovli vektorlar toʻplami yuqorida kiritilgan vektorlarni
   

qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari bilan birgalikda ⁿ oʻlchovli arifmetik vektor fazo deyiladi.
Agar vektorlarning komponentlari haqiqiy sonlardan iborat boʻlsa bu arifmetik

vektor fazoga haqiqiy arifmetik vektor fazo deyiladi va ^Rn
bilan belgilanadi.

Agar vektorlarning komponentlari kompleks sonlardan iborat boʻlsa bu

arifmetik vektor fazoga kompleks arifmetik vektor fazo deyiladi va ^Cn
belgilanadi.
bilan

Izoh. Vektor tushunchasining umumlashtirilishi vektor komponentlarini turlicha talqin qilishga imkon beradi.

2. 
   misol. Korxona oʻzining ishlab chiqarish jarayonida ⁿ turdagi xom ashyodan
   

foydalanib ^m xildagi mahsulot ishlab chiqarsin. Korxonaning bir sutkada xom ashyoga boʻlgan ehtiyojini va bir sutkada ishlab chiqargan mahsulotlarini ifodalovchi vektorlarni yozing.
Yechish. Agar ^xk kattalik ^{k } xom ashyoga boʻlgan korxonaning bir sutkalik
ehtiyojini, ^yi kattalik esa bir sutkada ishlab chiqarilgan ^{i } mahsulot miqdorini

bildirsa, u holda quyidagi
X  (x , x ,..., x )^T
_va Y  ( y , y
,..., y )^T
vektorlar mos

1 2

n

1 2

m
ravishda korxonaning barcha xom ashyoga boʻlgan bir sutkalik ehtiyojini va bir kunda, ishlab chiqarilgan mahsulotning turlari miqdorini bildiradi.

2. 
   misol. Ikkita korxona bir xil 4 turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Korxonalarning har bir mahsulotdan bir sutkada qanchadan ishlab chiqarishi quyidagi jadvalda berilgan:
   

Mahsulot turlari	1	2	3	4
1-korxona	24	36	50	80
2-korxona	30	25	20	10

Birinchi korxona bir oyda 22 kun, ikkinchi korxona esa 20 kun ishlaydi. Bir oyda ikkala korxona har bir turdagi mahsulotlardan birgalikda qancha miqdorda ishlab chiqaradi.

Yechish. Korxonalarning bir sutkada ishlab chiqargan mahsulotlari vektorlarini quyidagicha yozamiz:
_ 24_{ } 30 _
 ₃₆   ₂₅

_{A }  
va B  ^{ }.

^ 50 ^{ } 20^

80 10
   
   
U holda ikkala korxonaning birgalikdagi bir oyda ishlab chiqarish vektori quyidagicha topiladi:
_ 24 _{ } 30 _{ } 528 _{ } 600 _{ }1128_

         
^ 36 ^{ } 25^{ } 792 ^{ } 500 ^{ }1292 ^
22 A  20B  22  20    .
^ 50 ^{ } 20 ^{ }1100 ^{ } 400 ^{ }1500 ^

         
^ 80 ^{ }10 ^{ }1760 ^{ } 200 ^{ }1960 ^

3. 
   ta’rif. Ikkita bir xil oʻlchovli
   

 ^x₁   ^y₁ 
 _x   _y 
X  ^{ 2 } va Y  ^{ 2 }
   
 _x   _y 
 n   n 
vektorlarning skalyar koʻpaytmasi deb shu vektorlar mos koordinatalari koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng songa aytiladi va
( X ,Y )  x₁ y₁  x₂ y₂ 
shaklda yoziladi.
Skalyar koʻpaytmani matritsalar koʻpaytmasi shaklida quyidagicha ifodalashimiz mumkin:
(X ,Y )  X^TY  Y^T X _.

3. 
   misol. Quyidagi vektorlarning skalyar koʻpaytmasini toping:
   

 ²   ^1
 ₅   ₅ 

X  ^{ };
_{Y }  

^ 3 ^{ } 6 ^

4 7
   
    _.
 1_
 ₅ 
( X ,Y )  X ^TY  _2 5 3 4_  ^{ } 
^ 6 ^

7
 
Yechish. ^{ }
 2  _1_  5  5  3 6  _4_ 7   2  25 18  28 13.

3. 
   misol. Korxona 5 turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Korxonaning bir sutkada har bir turdagi mahsulotdan qanchadan ishlab chiqarganligi va har bir mahsulotning bir birligining narxi quyidagi jadvalda berilgan:
   

Mahsulot turlari	1	2	3	4	5
Korxonaning bir sutkada i/ch.mahsuloti miqdori	23	54	26	46	68
Bir birlik mahsulot narxi(sh.p.b)	32	56	36	65	35

Korxonaning bir sutkalik daromadi qancha boʻladi?
Yechish. Agar korxonaning ishlab chiqarish vektorini ^X va narx vektorini ^P
bilan belgilasak, u holda
_ 23_{ } 32 _

54 56
   
   
X  ^ 26 ^; P  ^ 36 ^

46 65
   
   

68 35
   
   
boʻladi. Korxonaning bir sutkalik daromadini topish uchun bu vektorlarni skalyar koʻpaytiramiz:
_ 32 _

56
 
 
( X , P)  X ^T P  _23 54 26 46 68_^ 36 ^  10066.

65
 
 

35
 
 
Skalyar koʻpaytma quyidagi xossalarga ega: ₁₎ ( X ,Y )  (Y , X );
₂₎ ( X ,Y  Z )  ( X ,Y )  ( X , Z );
₃₎ (X ,Y )  ( X ,Y ).

₄₎ ( X , X )  0 _; ( X , X )  0  X   _;

bu yerda
^{X ,Y} , ^{Z n} oʻlchovli vektorlar va ^ ixtiyoriy son.

4-ta’rif. Vektor komponentlari kvadratlari yigʻindisining kvadrat ildiziga teng

boʻlgan
X  
songa ⁿ
oʻlchovli ^X vektor uzunligi

(moduli, normasi) deyiladi.
Vektor uzunligi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   ^X
   

 0 _;

₂₎ X    X _;

₃₎ X  Y  X  Y
(uchburchak tengsizligi)

bu yerda,
^{X ,Y n} oʻlchovli vektorlar va ^ ixtiyoriy son.

6-misol. Quyidagi vektorlarning uzunliklarini toping:

 ² 
 ¹ 

 ³  _{ }
 ₂ 

_{   5 }  
1) A  _ 0 _; 2) B  _{ 2 }; 3) C  ^ 3 ^.

3 _
 ₄  _{ }
 _4 

Yechish. ^{1) A }
2) | B |
  _


 

3
 
 
  5


3) C    39.
5-ta’rif. Agar ikkita noldan farqli vektorlarning skalyar koʻpaytmasi nolga teng boʻlsa, u holda bunday vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
7-misol. ^a parametrning qanday qiymatida quyidagi vektorlar ortogonal boʻladi:
 ³   ^2
 ₀   ₅ 

_{X }  
va Y  ^{ }.

^ a ^{ } 6 ^
 _1  ₀ 
   
Yechish. Bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasini hisoblaymiz

(X ,Y )  3_2_  0  5  a  6  _1_ 0  6a  6.
Masala shartiga koʻra,