Arifmetik vektorlar va ular ustida amallar

Teorema. Agar berilgan (*) sistema vektorlari aniqlaydigan A mat-ritsa rangi r sistema vektorlari soni m ga teng bo`lsin, ya`ni r = m, (*) sistema chiziqli erkli, agarda A matritsa rangi r, sistema vektorlari soni m dan kichik, ya`ni r < m bo`lsa, (*) sistema chiziqli bog`liqdir.
Teorema isboti bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yagona trivial yechimga egaligi va trivial yechimdan tashqari notrivial yechim-larga egaligi haqidagi teorema asosida isbotlanadi va uning shartlari tasdig`ini quyidagi xususiy misollarda tekshirib ko`rish mumkin.
Masalalar.
1) R<sub>2</sub> haqiqiy fazoda (koordinatalar tekisligida) ikki a<sub>1</sub>(a<sub>11</sub>; a<sub>21</sub>) va a<sub>2</sub>(a<sub>12</sub>; a<sub>22</sub>) vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema chiziqli bog`liqdir.
2) R₂ haqiqiy fazoda a₁, a₂, …, a_k (k ≥ 3) vektorlar berilgan bo`lsin. Ushbu holda r(A) ≤ 2 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistemaning ixtiyoriy vektori qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanishi mumkin. R<sub>2</sub> fazoda 3 ta va undan ortiq vektorlar sistemasi har doim chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.
3) R₃ haqiqiy fazoda a₁(a₁₁; a₁₂; a₁₃) va a₂(a₁₂; a₂₂; a₃₂) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m shartlar bajariladi va sistema chiziqli bog`liqdir.
4) R<sub>3</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar o`zaro komplanar bo`lmasa, r(A) = 3 = 3 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Aks holda, r(A) ≤ 2 < 3 = m shartlar o`rinli bo`lib sistema chiziqli bog`liqdir.
5) R₃ haqiqiy fazoda