Asosiy formulalar

4-mavzu: Majburiy mexanik va elektromagnit tebranishlar
(2 soat)
ASOSIY FORMULALAR
Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi
(1)
yoki
(2)
bu erda - tebranayotgan moddiy nuqtaga taʼsir etuvchi va majburiy tebranishlarni vujudga keltiruvchi tashqi davriy kuch; F₀- uning amplitudaviy qiymati; .
Majburiy tebranishlar amplitudasi
(3)
Rezonans chastota va rezonans amplitudasi
(4)
va
(5)
Tebranayotgan tizimning asilligi
(6)
Agar Ѳ<<1
(7)
MASALALAR YECHISH NAMUNALARI
1 masala. Sulfat kislotasida suzib yurgan areometr massasi 55 gr boʻlib, u suyuqlik zichligini ρ=1,27 gr/cm³ koʻrsatmoqda. Agar qurilmani muvozanat holatdan vertikal siljitib qoʻyib yuborilsa u tebranishni boshlaydi. Areometr shkalasi joylashtirilgan tsilindrik trubkaning radiusi r=0,30 sm boʻlsa tebranishlarni soʻnmas deb xisoblagan holda uning davrini aniqlang.
Yechilishi. Suyuqlikka botirilgan areometrga ikkita kuch tasir qiladi: mg – ogʻirlik kuchi va jism tomonidan siqib chiqarilgan uning ogʻirligiga teng boʻlgan itarib chiqaruvchi Arximed kuchi.
(1)
V– suyuqlikka botirilgan areometr hajmiga teng boʻlgan siqib chiqarilgan suyuqlik hajmi
Agar areometr muvozanat holatda boʻlsa, unga ta’sir etuvchi kuchlar tenglashadi. Pastga yo‘nalishni musbat deb hisoblab quyidagi ifodani yozib olamiz.
(2)
Areometr muvozanat holatdan vertikal x kattalikka siljigan boʻlsin (x-algebraik kattalik). Suyuqlikka botirilgan qurilmaning hajmi oʻzgarganligi tufayli itarib chiquvchi kuch ham oʻzgaradi. Areometrga vertikal yo‘naltirilgan teng ta‘sir etuvchi quyidagi kuch taʻsir etadi.
(3)
bu yerda qurilmaning suyuqlikka botirilgan hajmining oʻzgarishi. (2) ifodaga ΔV qo‘yib qavsni ochish orqali (1) ni hisobga olgan holda quyidagi ifodani hosil qilamiz.
(4)
bu yerda doimiy kattalik. Areometrga siljishga proporsional boʻlgan teskari ishorali kuch, yani kvazielastik kuch ta’sir qiladi. Bundan kelib chiqadiki, u garmonik tebranma harakat qilib, uning davrini quyidagicha aniqlaymiz:

2 masala. t=2,0 minut davomida soʻnuvchi tebranma harakat qilayotgan mayatnikning energiyasi N=100 marta kamaydi. Agar mayatnik massasi m=0,100 kg boʻlsa, soʼnish koeffitsiyentini aniqlang.
Yechilishi. Qarshilik koeffitsienti r, sunish koeffitsiyenti β va massa m bilan quyidagicha bogʻlangan
(1)
β kattalikni soʻnuvchi tebranishlar tenglamasi orqali aniqlaymiz. Tengalamadagi koʻpaytuvchi amplitudaning vaqt oʻtishi bilan kamayishini koʻrsatadi. Tebranishlar energiyasi amplituda kvadratiga proportsional boʻlganligidan boshlangʻich va oxirgi energiyalarni W₀ va W orqali ifodalab, quyidagini yozib olamiz.
(2)
(2) va (3) ifodalardan . Logarifmlab, quyidagini aniqlaymiz:
(3)
Topilgan β ning qiymatini (1) ga qoʻyib, noma’lum kattalikni aniqlaymiz:
; .
m = 0,100 kg, t = 120 s, ln10,0 = 2,3 bilgan holda, hisoblashlarni bajaramiz:



3-masala. Massasi 0,500 kg bolʻgan yuk bikirligi k=32 N/m boʻlgan prujinaga osilgan boʻlib, soʻnuvchi tebranma harakat qilmoqda. Ikki holat uchun tebranish davrini aniqlang: 1) amplitudasi N₁=2 marta kamaish uchun ketgan vaqtda n₁= 88 marta tebrangan boʻlsa; 2) amplitudasi N₂ = 20 marta kamayish uchun ketgan vaqtda n₂= 2 marta tebrangan boʻlsa.
Yechilishi. Muhitning qarshiligi erkin tebranishlar chastotasini kamaytiradi. Soʻnuvchi tebranishlar davri quyidagicha aniqlanadi
(1)
Prujinaning hususiy tsiklik chastotasini quyidagidan aniqlaymiz.
(2)
Soʻnish koeffitsientini masala shartidan toʻgʻridan toʻgʻri aniqlash mumkun emas. Quyidagini bilgan holda
(3)
λ kattalikni aniqlashimiz uchun, soʻnuvchi tebranishlar tenglamasidan foydalanamiz
(4)
Keltirib chiqarilgan belgilashlardan quyidagini yozish mumkun
; . (4) ifodadan logarifmlab, ni olamiz. Ikki holat uchun N va n son qiymatlarini qoʻyib, λ₁ = 0,0079; λ₂ = 1,5 aniqlaymiz. (3) inobatga olib (1) ifodani ollib qayta yozamiz:

T davrga nisbatdan kvadrat tenglama hosil boʻladi. Uni yechish orqali (manfiy ildizni tashlab yuboramiz).

Davrni hisoblash natijasida λ₁²<< 4π² ekanligidan λ² birinchi holat uchun hisobga olmasdan davrni aniqlaymiz:
.
Ikkinchi holatda λ² ni hisobga olgan holda hisobaymiz:
.