Axborot xavfsizligi” kafedrasi «Axborotni himoyalashning kriptografik usullari» fanidan kurs ishi

Tasdiq.Agar nuqtalar ratsional bo’lsa, u holda nuqta koordinatalari ham bo’ladi.
Isboti. nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqning umumiy ko’rinishi: ifodaga ega bo’lib bu yerda –koesiffitsentlar. – nuqtalar chiziqqa tegishli. Bundan esa:




ekanligi kelib chiqadi.
to’g’ri chizig’ tiklab olindi.Demak to’g’ri chiziq va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq.Keyngi qadamda ifoda
elliptik egri chiziqning tenglamasiga qo’yilsa, to’g’ri chiziq va elliptik egri chiziqning 3- nuqtasini topa olamiz, ya’ni:




U holda uchinchi tartibli tenglama uchun Viyet teoremasiga ko’ra:

tenglik o’rinli bo’lib, bu oxirgi tenglikda ratsional sonlar bo’lganligi uchun, ham ratsional son bo’ladi. Xuddi shuningdek

ifodaga ko’ra, sonining ham ratsional ekanligi kelib chiqadi. Bu keltirilgan tasdiq isbotidan esa yig’indi nuqta koordinatasini hisoblash formulasi keltirilib chiqariladi. nuqta nuqtani o’qiga simmetrik ko’chirishdan hosil bo’lar edi. Natijada, yig’indi nuqtaning koordinatalari deb belgilansa, bu koordinatalar quyidagi formulalar orqali topiladi, chunki,




Demak , elliptik egri chiziqda mavjud.


tengliklarga ega bo’linadi, bu yerda
qanday amalga oshirilishi haqida to’xtalaylik. Buning uchun elliptik egri chiziqdagi -nuqta orqali urinma to‘g‘ri chiziq o‘tkaziladi. Bu urinma elliptik egri chiziq grafigidagi ikkinchi qismni (giperbola qismida) biror nuqtada kesib o‘tadi. Ana shu kesib o‘tgan nuqtani -o‘qiga nisbatan simmetrik ko‘chiriladi va bu nuqta 2 deb elon qilinadi: So‘ngra, 3 -ni topish uchun, , shu kabi , , , va hokazolar amalga oshiriladi.

Har doim ham nuqtalar orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq elliptik egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o‘tavermaydi. Masalan va nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq -o‘qiga perpendikulyar bo‘lib, u elliptik egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o‘tmaydi:



Bunday holda o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq elliptik egri chiziqni cheksizlikda kesib o‘tadi deb qabul qilinib, cheksizlikdagi barcha nuqtalar bitta nol nuqtaga birlashtirilgan deb hisoblanadi, ya’ni cheksizlikdagi barcha nuqtalar, elliptik egri chiziq nuqtalari ustida aniqlangan qo‘shish amaliga nisbatan, haqiqiy sonlarni qo‘shishdagi nol qiymati kabi xossaga ega.
Bevosita hisoblashlar bilan ko‘rsatish mumkinki, elliptik egri chiziq nuqtalarini qo‘shish amali Abel gruppasini tashkil etadi, yani elliptik egri chiziqqa tegishli bo‘lgan a,b, c -nuqtalar uchun:
1) kommutativlik
2) assotsiativlik
3) nol elementining mavjudligi
4) teskari (qarama - qarshi) elementning mavjudligi
Abel gruppasining aksiomalari o‘rinlidir.
Agar bo’lsa, u holda kesuvchi to’g’ri chiziq o’rniga urinma o’tkazilib, quyidagi formulalar keltirilib chiqariladi.


Shunday qilib, hech bo’lmasa bitta ratsional nuqta elliptik egri chiziqdagi nuqta bo’lsa, u holda yuqoridagi formula yordamida , , ,…va hokazolarni topishimiz mumkin bo’ladi.
Misol. Elliptik egri chiziq unga tegishli nuqta berilgan bo’lsa, bu nuqtaning yig’indisini ifodalovchi nuqtalar topilsin. =?, =?, =?,
Yechish. (1) va (2) formuladan foydalanilsa,

Javob.

Demak, elliptik egri chiziqda yotuvchi kamida bitta ratsional nuqtani bilganimiz holda qolgan istalganicha ratsional nuqtalarni topish imkoniyati mavjud. Tanlab olingan elliptik egri chiziqda tartibi yetarli katta bo’lib, bu tartibni aniqlovchi son tub son bo’lishi samarali amaliy tadbiqlarga asos bo’ladigan ratsional koordinatali nuqtalarni toppish masalasi yechimi muhimdir. shu masala yechimiga bag’ishlangan adabiyotlar ro’yhatida keltirilgan manbaalarda berilgan. Elliptik egri chiziqda ratsional koordinatali nuqtalarni aniqlash uchun tayyorlangan muhitning algoritmi