Aylana, ellips, giperbola, parabola. Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbig’I.  II tartibli tenglama va chiziqlar

7-TA’RIF: (6) tenglama parabolaning kanonik tenglamasi, p (p>0) esa uning parametri deyiladi.
Parabolaning kanonik tenglamasini tahlil etamiz.
y2≥0, p>0 => x≥0. Demak, parabola O koordinata boshidan o‘ng tomonda joylashgan.
Bunda O(0,0) koordinata boshi (6) tenglamani qanoatlantiradi va shu sababli parabolada yotadi. O nuqta parabolaning uchi deb ataladi.
(6) tenglamada y kvadrati bilan qatnashgani uchun M(x,y) parabolaga tegishli nuqta bo‘lsa, unda N(x,–y) nuqta (6) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni parabolaga tegishli bo‘ladi. Bundan bizning parabola OX o‘qiga nisbatan simmetrik ekanligi kelib chiqadi.
Agar (6) kanonik tenglamada x o‘zining 0 qiymatidan boshlab o‘sib borsa, unda |y| ham 0 qiymatdan boshlab o‘sib boradi. Demak, parabola chegaralanmagan chiziq ekan.
Bu ma’lumotlar asosida dastlab parabola shaklini I chorakda (x≥0, y≥0) aniqlab, so‘ngra OX o‘qiga simmetrik tarzda davom ettiramiz. Natijada parabola quyidagi ko‘rinishda ekanligini aniqlaymiz (32-rasmga qarang):

Parabolaning ixtiyoriy M nuqtasidan l dirеktirisagacha bo‘lgan masofani |MC|=d, F fokusigacha bo‘lgan masofani |MF|=r (fokal radius) dеb belgilaymiz. Unda parabola ta’rifga asosan r=d=x+p/2 bo‘ladi. Ellips va giperbolani qaraganimizda ularning ekssеntrisitеti uchun =rd tenglik o‘rinli bo‘lishini ko‘rgan edik. Bu tenglikni  ekssеntrisitеtning ta’rifi sifatida olsak, unda parabola uchun =rd =1 bo‘ladi.

Demak,  ekssеntrisitеt qiymatiga qarab II tartibli chiziqning ko‘rinishini aniqlash mumkin ekan. Agar =0 bo‘lsa – aylana , 0<<1 bo‘lsa – ellips , =1 bo‘lsa – parabola va >1 bo‘lsa – giperbolaga ega bo‘lamiz.
Misol: OX o‘qi parabolaning simmetriya o‘qi bo‘lib, uning uchi koordinatalar
boshida yotadi. Parabola uchidan fokusigacha bo‘lgan masofa 4 birlikka tеng.
Parabola va uning direktrisasi tenglamasini toping.
Yechish: Dastlab, masala shartiga asosan, parabolaning p parametrini topamiz:
|ОF|=4  р/2=4  р=8.
Unda, (5) formulaga asosan, parabola tenglamasini topamiz:
y2=2рх  у2=28х=16х.
Bu yerdan direktrisa tenglamasi x=–p/2 => x=–4 ekanligini ko‘ramiz.
Shuni ta’kidlab otish kerakki, y=ax2+bx+c (a≠0) kvadrat uchhadning grafigi uchi koordinatalari
a b ac y a b x 4 4 , 2 2 0 0     74

bo‘lgan M0(x0 ,y0) nuqtada, simmetriya o‘qi esa OY o‘qiga parallel va x=–b/2a tenglamaga ega bo‘lgan vertikal to‘g‘ri chiziqdan tashkil topgan paraboladan iboratdir. Agar a>0 bo‘lsa, parabola yuqoriga, a<0 bo‘lsa, pastga yo‘nalgan bo‘ladi.

Parabolaning iqtisodiy tatbig‘iga doir bir misol keltiramiz. Ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi x, uning bir birligining narxi P va ishlab chiqarish xarajatlari Z bo‘lsa , bu ko‘rsatkichlar P=ax+b (a<0) va Z=cx+d (c>0) ko‘rinishda chiziqli bog‘langan deb olish mumkin. Unda bu mahsulotni sotishdan olingan tushum T va foyda F bilan mahsulot hajmi x orasidagi bog‘lanish
T=Px=ax2+bx , F=T – Z= ax2+bx – (cx+d)= ax2+(b – c)x –d
ko‘rinishdagi kvadrat uchhadlar, ya’ni parabolalar orqali ifodalanadi.