Bajardi: di 11-22 -guruh talabasi Nurmatov B

2.2. Umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida differentsial tenglamalarni integrallash.
Demak, agar (2.1) tenglamada a (x), b (x) funksiyalar ratsional bo’lsa, u yoki bo’lgan nuqtalar (2.1) tenglamaning yagona nuqtalari deyiladi.
Ikkinchi tartibli tenglama uchun
bu yerda a (x), b (x) |x - x 0 | oraliqdagi analitik funksiyalar< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).
X = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda darajalar qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin, bu holda yechimni umumlashtirilgan darajalar qatori shaklida izlash kerak:
Bu erda l va,…, () aniqlanadi.
Teorema_2. (2.6) tenglama x = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajali qator (2.7) ko'rinishida kamida bitta aniq yechimga ega bo'lishi uchun bu tenglamaning ko'rinishi bo'lishi kifoya.
konvergent quvvat qator mohiyati, va koeffitsientlari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki aks holda nuqta x = x 0 yagona nuqta emas va x = x 0 nuqtasida ikkita chiziqli mustaqil halomorf mavjud. Bundan tashqari, agar (2,7") tenglama koeffitsientlariga kiritilgan qator (2,7 ") mintaqada yaqinlashsa | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.
x> 0 uchun (2.6) tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglamaga (2.7) ifodani x 0 = 0 o'rniga qo'ysak, bizda
X ning darajalaridagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz takroriy tenglamalar tizimini olamiz:
Chunki, u holda l tenglamani qondirishi kerak
boshqaruvchi tenglama deyiladi. Bu tenglamaning ildizlari bo'lsin. Agar farq butun son bo'lmasa, u holda har qanday butun son uchun k> 0, ya'ni ko'rsatilgan usul bilan (2.6) tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil echimini qurish mumkin:
Agar ayirma butun son bo'lsa, u holda umumlashtirilgan qator ko'rinishida bitta yechim qurish uchun yuqoridagi usuldan foydalanish mumkin. Ushbu yechimni bilib, Liouvil - Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, ikkinchi yechimni chiziqli mustaqil ravishda topish mumkin:
Xuddi shu formuladan kelib chiqadiki, yechimni shaklda izlash mumkin
, oddiy differensial tenglamalar nazariyasi tarmoqlarining ahamiyatini qayta ko'rib chiqishni talab qiladi. Hozirgi vaqtda differensial tenglamalar yechimlarini sifat jihatidan o'rganish usullari, shuningdek, yechimlarni taxminiy topish usullarining ahamiyati ortdi.
Ko'pgina differensial tenglamalarning yechimlari elementar funksiyalar yoki kvadraturalar bilan ifodalanmaydi. Bunday hollarda differentsial tenglamalarni integrallashning taxminiy usullari qo'llaniladi. Bu usullardan biri tenglamaning yechimini darajalar qatori shaklida ifodalashdir; bu qatordagi sonli hadlar yig'indisi taxminan kerakli yechimga teng bo'ladi. Bu tanlangan tadqiqot mavzusining dolzarbligini belgilaydi.
Ushbu ishning maqsadi: differensial tenglamalarni integrallashda darajali qatorlar usulini qo'llashni ko'rsatish.
Tadqiqot ob'ekti differensial tenglamalarni darajali qatorlar usuli bilan integrallash jarayonidir.
Differensial tenglamalarni darajali qatorlar orqali integrallash shakllari, usullari va vositalari tadqiqot predmeti hisoblanadi.
Ushbu maqsadga muvofiq, ushbu ishning asosiy vazifalarini shakllantirish mumkin:
Seriyalar va differentsial tenglamalar bilan bog'liq asosiy tushunchalarni ko'rib chiqing.
Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usulini tahlil qiling.
Turli muammolarni hal qilish uchun quvvat seriyali usulini qo'llang.
Ishning tuzilishi: sarlavha sahifasi, topshiriq shakli, referat, mazmun, kirish, asosiy qism, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati.
Asarning asosiy qismi ikki bobdan iborat. Birinchi bobda qator, darajali qator, Teylor qatori va differentsial tenglamalar tushunchalari ochib berilgan. Ikkinchi bobda differensial tenglamalarni darajali qatorlar bo'yicha integrallash misollari ko'rib chiqiladi.
Ishning nazariy qismini o'rganish uchun o'quv adabiyotlari va foydalanilgan adabiyotlar ro'yxatida ko'rsatilgan davriy nashrlar materiallaridan foydalanilgan.
Ish hajmi: 26 bet.