Bajardi: Sulaymonov Samandar

Yo’nalish guruhi nomi: 103-guruh Bank va audit

MUSTAQIL ISH

Bajardi: Sulaymonov Samandar

Toshkent 2023

Hosila va differensialni hisoblash qoidalari

Reja:

1. 
   Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar
   
2. 
   Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi
   

Yuqori tartibli hosila va differensiallar


1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali
Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud.
u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada
a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d)
funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli :
1) [u(x) + v(x)]  = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x).
2) [k u(x)]  = k u(x); d[k u(x)] = k du(x).
3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x);
d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x).

4) ;

, ( v(x) ≠0).

Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.

f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
C (o`zgarmas)	0		sin x	cos x
x^p	x^p-1		cos x	-sin x
			tg x
a^x	a^xlna		ctg x
f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
e^x	e^x		arcsin x
loga |x|			arccos x
			arctg x
ln |x|			arcctg x

Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang:

1. . 2. .
1.
.
2.


2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.
Agar u = g(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = f (u) funksiya u₀ = g(x₀) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x₀) = f (u₀) · g(x₀).
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x<sub>0</sub>) · dx = f (u<sub>0</sub>) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x₀) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi.
Misol.
1.  funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz:


2. y = x^sin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz:
(lny) = (sin x · lnx) <=> .
Natijada, .