Банаховы пространства § Определение и примеры
Download 248.27 Kb. Pdf ko'rish
|
fanI7
- Bu sahifa navigatsiya:
- § 8. Теоремы Банаха–Штейнгауза
- § 9. Операторные топологии
|
§ 7. Дважды сопряж¨
енное пространство Итак, ранее мы построили сопряж¨енное банахово пространство (B ∗
k·k ∗ ) . Рассмотрим теперь линейное пространство всех линейных функционалов над этим банаховым пространством: hx ∗∗
f i ∗ для всех x ∗∗ ∈ B ∗∗ := (B
∗ ) ∗ , f ∈ B
∗ , где h· , ·i ∗ — это скобки двойственности между B ∗∗
B ∗ . О п р е д е л е н и е 1 1 . Линейное пространство всех линейных функционалов x ∗∗ над банаховым пространством (B ∗ , k·k
∗ ) , непре- рывных в том смысле, что hx ∗∗ , f n i ∗ → hx ∗∗ , f i ∗ ,
kf n
∗ → 0 при n → +∞
, будем называть дважды сопряж¨енным и обозначать как B ∗∗ . g g Рис. 5. Слабая сходимость в B ∗ . Поскольку каждый элемент x ∗∗ ∈ B ∗∗ — это линейный и непрерыв- ный оператор, действующий как x ∗∗ : (B ∗ , k·k ∗ ) → K , K = C или K = R , 20 Лекция 7. Банаховы пространства то, как и ранее, приходим к выводу, что B ∗∗ является банаховым пространством относительно нормы kx ∗∗
∗∗ def
= sup kf k
∗ =1 |hx ∗∗ , f i ∗ | .
Сходимость последовательности {x ∗∗ n } ⊂ B
∗∗ по введ¨енной норме kx ∗∗
− x ∗∗ k ∗∗ → 0 при n → +∞
в наших обозначениях является сильной сходимостью. Разумеется, что после того как мы ввели в рассмотрение банахово пространство (B ∗∗ , k·k
∗∗ ) мы можем ввести на банаховом пространстве (B ∗ , k·k ∗ ) обычную слабую сходимость. О п р е д е л е н и е 1 2 . Будем говорить, что последователь- ность {f n } ⊂ B ∗
f n
∗ , и писать f n ⇀ f слабо в B ∗ при n → +∞
, если hx ∗∗ , f n i ∗ → hx ∗∗ , f i для каждого x ∗∗ ∈ B ∗∗ . Таким образом, на банаховом пространстве (B ∗ , k·k
∗ ) , которое является сопряж¨енным к исходному банахову пространству (B , k·k) , мы построили три типа сходимости: это сильная, слабая и ∗ -слабая.
Вопрос: как они связаны. Л е м м а 3 . Сильная сходимость влеч¨ет за собой слабую, а сла- бая сходимость влеч¨ет за собой ∗
Д о к а з а т е л ь с т в о .
{x n } ⊂ (B , k·k) и x n → x сильно в
B . Тогда из определений 5 и 6 непосредственно следует, что x n ⇀ x слабо в B при n → +∞. В частности, f n
слабо в B ∗ , если kf n − f k ∗ → 0 при n → +∞
. З а м е ч а н и е 9 . Поскольку линейные функционалы суть частные случаи линейных операторов, на них переносятся утверждения лемм 1 и 2 (дайте самостоятельно соответствующие формулировки!). Полезно также иметь в виду неравенство |hf
, xi| 6 kf k ∗ kxk
для всех x ∈ B
, являющееся частным случаем неравенства (3.2). 7. Дважды сопряж¨енное пространство 21
B ∗
∗ -слабая сходимость. Прежде всего заметим, что между B и подмножеством в B ∗∗ суще- ствует линейная изометрия J : B → B ∗∗ ,
∗∗ = kuk
для всех u ∈ B.
✷ Действительно, определим функционал Jx ∈ B ∗∗
B ∗ следую- щей формулой: hJu
, f i
∗ def
= hf , ui , u ∈ B
, f ∈ B
∗ . 1. Согласно определению имеем hJ(α 1 u 1 + α
2 u 2 ) , f i ∗ = hf
, α 1 u 1 + α 2 u 2 i = = α
1 hf , u 1 i + α 2 hf , u 2 i = α 1 hJu
1 , f i ∗ + α
2 hJu
2 , f i ∗ . Линейность доказана. 2. Согласно определению нормы на B ∗∗ def = (B ∗ ) ∗ и следствию из теоремы 5 имеем kJuk
∗∗ = sup
kf k ∗ =1 |hJu , f i ∗ | = sup
kf k ∗ =1 |hf , ui| = {( 6.12 )} = kuk. ⊠ Пусть {f
} ⊂ B ∗ , прич¨ем f n ⇀ f слабо в B ∗ ⇒ hx ∗ , f n − f i → 0 ∀x ∗ ∈ B ∗∗ . Поскольку линейная изометрия J является взаимно однозначным отоб- ражением между B и J(B) ⊂ B ∗∗ , то приходим к выводу о том, что ∀x ∈ B hJx , f n − f i
∗ = hf
n − f
, xi →
0 при
n → +∞. Таким образом, f n
⇀ f ∗ −
слабо в B ∗ при n → +∞.
Л е м м а д о к а з а н а . Дадим следующее определение: О п р е д е л е н и е 1 3 . Банахово пространство B
флексивным, если J(B) = B
∗∗ . Если банахово пространство является рефлексивным, то имеет ме- сто равенство скобок двойственности hx ∗∗ , f i
∗ = hf
, xi , где x ∗∗ ∈ B ∗∗ , f ∈ B ∗ , x ∈ B , прич¨ем x ∗∗ = Jx. И поэтому для рефлексивных банаховых пространств B слабая и ∗ -слабая сходимости на банаховом пространстве B ∗
22 Лекция 7. Банаховы пространства в общем случае, как мы уже говорили, слабая сходимость «сильнее» ∗ -слабой сходимости. Т е о р е м а 8 . Если B
ство, то оно является банаховым. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть J(B) = B
∗∗ , т. е. пространство линейных непрерывных функ- ционалов над B ∗ . Тогда
B ∗∗ полно как всякое сопряж¨енное простран- ство (см. § 4). Поэтому если {x n } ⊂ B — это фундаментальная последователь- ность, то kx n − x m k → + 0 при
n , m → +∞ ⇒ ⇒ kJx n − Jx m k ∗∗ = kx n − x m k → +
0 . (7.1) Следовательно, найд¨ется такой x ∗∗ ∈ B ∗∗ , что Jx n → x ∗∗ ∈ B
∗∗ . Положим x = J −1 x ∗∗ , тогда
kx n − xk = kJx n − x
∗∗ k ∗∗ → + 0 при n → +∞. Т е о р е м а д о к а з а н а . § 8. Теоремы Банаха–Штейнгауза Пусть
F α : B 1 → B
2 , α ∈ I , — это семейство не обязательно линейных отображений банаховых пространств с нормами k·k
1 и k·k 2 соответственно. В этом параграфе мы рассмотрим две теоремы, каждую из которых принято называть теоремой Банаха–Штейнгауза. Как мы покажем, обе эти теоремы являются следствиями теоремы Бэра о категориях. Точнее, они следуют из теоремы о равномерной ограниченности, вытекающей, в свою очередь, из теоремы Бэра. Т е о р е м а 9 ( о р а в н о м е р н о й о г р а н и ч е н н о с т и ) . Пусть (i)
F α непрерывно для каждого α ∈ I
; (ii)
отображение F α для каждого α ∈ I
удовлетворяет неравен- ствам 1 ) kF α (x + y)k
2 6 kF α (x) + F
α (y)k
2 , 2 ) kF α (λx)k 2 6 |λ|kF α (x)k
2 для всех x , y ∈ B 1 , λ ∈ R 1
α ∈ I ;
для каждого x ∈ B
1 sup
α∈I kF α (x)k 2 6 c(x) < +∞. 8. Теоремы Банаха–Штейнгауза 23
{F α
равномерно по α ∈ I
непрерывно в нуле: lim
δ→0 sup
α∈I, kxk 1
kF α
2 = 0 . Д о к а з а т е л ь с т в о . Шаг 1. Заметим, что для каждого F α множество b n (α) = {x ∈ B 1 : kF α (x)k
2 6 n} замкнуто как прообраз замкнутого множества [ 0, n] при непрерывном отображении.
X n = \ α∈I b n (α) = x ∈ B
1 : sup
α∈I kF α (x)k 2 6 n
замкнуто. Докажем, что B 1 = [ n∈N X n . ✷ Действительно, согласно условию (iii) sup
α∈I kF α (x)k 2 6 c(x) < +∞ , а поэтому для произвольного фиксированного x ∈ B найд¨ется такое n ∈ N , что
c(x) 6 n . Имеем
X n = x ∈ B
1 : sup
α∈I kF α (x)k 2 6 n
, но тогда из (iii)
вытекает, что каждый элемент x ∈ B
1 принадлежит какому-то X n . ⊠
X n
B 1 , а B 1 является банаховым, т. е. полным, поэтому в силу доказанной ранее теоремы Бэра о категориях найд¨ется такое n ∈ N и такой открытый шар O(x 0 , ε) , что
O(x 0 , ε) ⊂ X n ⇒ {x ∈ B : kx − x 0 k 1 < ε} ⊂
x ∈ B 1 : sup
α∈I kF α (x)k 2 6 n
. Отсюда после замены y = x − x 0 получим вложение {y : kyk 1
y ∈ B : sup α∈I kF α (x 0 + y)k 2 6 n . В свою очередь, из свойства (ii) -1) вытекает неравенство ∀kyk 1
sup α∈I
kF α (y)k 2 6 sup α∈I kF α (y + x 0 )k 2 + + sup α∈I kF α (−x 0 )k 2 6 n + c(x 0 ) < +∞.
24 Лекция 7. Банаховы пространства Шаг 4. Итак, для всех
kyk 1
верно sup
α∈I kF α (y)k 2 6 n + c(x 0 ) < +∞. В силу свойства (ii)
-2) при всех kxk
1 < δ , положив y = ε
x , име-
ем kyk
1 < ε и kF α (x)k
2 = F α
δ ε y
2 6 δ ε kF α (y)k 2 6 δ ε (n + c(x 0 )).
Отсюда легко видеть, что sup
α∈I, kxk 1
kF α
2 6 δ ε (n + c(x
0 )) →
0 при
δ → 0 . Т е о р е м а д о к а з а н а . Из теоремы о равномерной ограниченности вытекает следующая первая теорема Банаха–Штейнгауза: Т е о р е м а 1 0 . Пусть {T α
— это семейство линейных и непре- рывных операторов T α : B 1 → B 2 для всех α ∈ I.
Пусть для каждого x ∈ B
1 sup
α∈I kT α xk 2 6 c(x) < +∞. Тогда sup
α∈I kT α k 1 →2 < +∞. Д о к а з а т е л ь с т в о . Применим теорему о равномерной ограниченности к семейству F α = T α . Тогда получим, что для некоторого δ >
0 sup
α∈I, kxk 1
kT α
2 6 1, но отсюда в силу линейности операторов получим, что sup
α∈I kT α k 1 →2 = sup
α∈I, kzk 1 6 1 kT α zk 2 = 1 δ sup α∈I, kxk 1 6 δ kT α xk 2 6 1 /δ , z = x δ . Т е о р е м а д о к а з а н а . Справедлива вторая теорема Банаха–Штейнгауза. Т е о р е м а 1 1 . Пусть {T n
— это последовательность линейных непрерывных операторов, прич¨ем T n : B 1 → B 2 9. Операторные топологии 25
T n
0 x
B 2
x ∈ B 1 . Тогда T 0 — линейный и непрерывный оператор. Д о к а з а т е л ь с т в о . Шаг 1. Докажем прежде всего, что оператор T 0 является линейным. ✷ Действительно, в силу линейности T n имеем T n (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α
1 T n x 1 + α 2 T n x 2 . (8.1) Поскольку по условию T n
1 x 1 + α 2 x 2 ) → T
0 (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) , T n x 1 → T 0 x 1 , T n x 2 → T 0 x 2 , то, перейдя в (8.1) к пределу при n → +∞ , получим T 0
1 x 1 + α 2 x 2 ) = α
1 T 0 x 1 + α 2 T 0 x 2 . Шаг 2. Из сильной сходимости вытекает, что sup
n∈N kT n xk 2 6 c 1 (x) < +∞ , но тогда из первой теоремы Банаха–Штейнгауза получим, что sup n∈N
kT n k 1 →2
, тогда
kT 0 xk 2 = lim
n→+∞ kT n xk 2 6 lim n→+∞
kT n k 1 →2 kxk 1 6 c 2 kxk
1 . Значит, T 0 — это ограниченный оператор. Т е о р е м а д о к а з а н а . § 9. Операторные топологии По ходу лекции мы столкнулись уже с двумя типами сходимости операторов из пространства L (B 1 , B 2 ). Первый тип — это равномерная сходимость: kA n − Ak 1 →2 def = sup kxk
1 =1 k(A n − A)xk
2 → 0 при n → +∞.
Второй тип — это сильная сходимость: k(A
n − A)xk
2 → 0 при n → +∞
для всех x ∈ B
1 . Наконец, ещ¨е один тип операторной сходимости — это слабая сходимость hf , (A n − A)xi → 0 для всех
x ∈ B 1 и f ∈ B ∗ 2 , 26 Лекция 7. Банаховы пространства где h·
·i — это скобки двойственности между банаховыми простран- ствами B
и B ∗ 2 . Разумеется, у пространства L (B 1 , B 2 ) есть и «обычные» типы схо- димостей, как и у всякого банахова пространства. C точки зрения этих сходимостей равномерную следовало бы называть сильной, сильную — поточечной, однако устоялись термины «равномерная», «сильная» и «слабая», описывающие сходимость операторов с точки зрения сходи- мости их значений. Введ¨енная только что слабая операторная сходи- мость, вообще говоря, отличается от стандартной слабой сходимости в L
1 , B 2 )
Download 248.27 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|