Barometrik formula. Bolsman taqsimoti

Bolsman taqsimoti (qonuni)
Bizga ma`lumki, gazlarning bosimi hajm birligidagi molekulalar soniga proporsional ya`ni bo`lgani uchun balandlik ortishi bilan molekulа zichligining kamayishi qonunini ham ifodalaydi:

bу erda n va n₀-oralaridagi balandlik farqi h-ar teng bo`lgan nuqtalardagi hajm birligidagi molekulalar soniFormuladagi mqh kattalik molekulaning h-balandlikdagi potensial energiyasini bildiradi. Shuning uchun bizga energiyasi U=mqh bo`lgan zarralar soni n ni beradi deyish mumkin, bunda energiyasi nolga teng bo`lgan zarralar soni n0 ga teng bo`lishi kerak. Agar gaz qandaydir kuch maydonida bo`lib, shu tufayli uning zarralari biror potensial energiyaga ega bo`lsa, u holda berilgan U energiyali zarralar soni quyidagi formula bilan aniqlanadi:

va bu formulaga Bolsman (qonuni) formulasi deb ataladi. Bu formula issiqlik muvozanati sharoitida U energiyaga bo`lgan zarralar taqsimotini aniqlash imkonini beradi:

Bu formula yordamida berilgan U energiyali zarralar taqsimoti ning shu energiya kattaligidan tashqari, faqat temperaturaga bog`liq bo`lishini ko`rsatadi va zarralarning energiya bo`yicha qanday taqsimlanishiga bog`liq bo`lgan kattalik sifatida ifodalashiga imkon beradi.
Gazlar kinetik nazariyasiga ko`ra gaz molekulalari to`xtovsiz issiqlik xaotik harakatida o`zaro to`qnashib turadi. Ko`pgina to`qnashuvlardan keyin muvozanat yuzaga keladi. Ammo makroskopik muvozanat holatda ham mikroskopik jarayonlar, ya`ni ularning to`qnashuvlari davom etaveradi. Bu to`qnashuvlar tufayli molekulalarning tezliklari o`zgarib turadi. Lekin ular tezliklarining o`zgarishi ma`lum bir tezlik intervalida ro`y beradi va umumiy qonuniyat asosida bo`ladi.
Gaz molekulalri harakat tezliklarining bu qonuniyatlari ingliz olimi D. Maksvell tomonidan (1860- yilda) ochilganligi tufayli uning nomi bilan Maksvell taqsimoti deb yuritiladi. Maksvell taqsimotini qaraymiz.
Ma`lum V hajmdagi idishda N ta gaz molekulalari bo`lsa, hajm birligidagi molekulalar soni ga teng bo`ladi. Anna shu n – sonidan dn tasi tezliklar intervalida xarakterlansa, funksiyaga tezliklari intervalida yotuvchi gaz molekulalarining tezliklari bo`yicha taqsimlanish funksiyasi deyiladi.
Bu ta`rifdan ko`rinadiki, taqsimot funksiyasi hajm birligidagi n ta molekulalarning qancha qismi tezlik intervalida xarakterlanish ehtimolligi bilan aniqlanadi. Bu funksiyaning normallashtirish sharti quyidagicha ifodalanadi.

ya`ni butun tezliklar intervalida xarakterlanayotgan molekulalarning yig`indisi hajm birligidagi molekulalar sonini beradi.
x, y, z koordinatalar sistemasida qaraydigan bo`lsak, taqsimot funksiyasi:

ga teng bo`lishini hosil qilamiz.
Bunda, integralni qiymatini jadval integral sifatida hisoblash mumkin.

U holda С doimiy ga teng bo`ladi. Taqsimot funksiyasini x, y, z o`qiga nisbatan proyeksiyalar uchun quyidagi ifodani olamiz.



bu formulaga o`zgartirishlar kiritishi bilan

yoki

hosil bo`ladi.
Agar gaz molekulalari sferik qatlamga to`planadi desak va ma`lum vaqtdan keyin tarqaladi desak:
hosil bo`ladi. Bu yerda gaz molekulalarini sferik qatlamda to`planganligini e`tiborga olib, sferik qatlamni hajmi ga teng deb . Hajmdagi gaz molekulalari uchun (8.6) formulani quyidagicha yozish mumkin.

bu formulaga Maksvell taqsimoti deyiladi.
Maksvell taqsimoti funksiya ko`rinishida

ifodalanadi.
Gazlar uchun Maksvell taqsimoti funksiyasining qiymatini keltirib chiqarganda, gaz solingan idishning hamma nuqtalarida temperatura bir xil, ya`ni gaz muvozanat holatda deb hisoblandi. Agar gaz tashqi biror potensial maydon ta`sirida bo`lsa, bu maydon ta`sirida gaz molekulalari qo`shimcha potensial energiyaga ega bo`ladi va bunday gazning to`liq energiyasi kinetik va potensial energiyalar yig`indisidan iborat bo`ladi. Tashqi potensial maydon gaz molekulalarining tezliklar taqsimotiga ta`sir qilmasdan faqat gaz molekulalarining konsentratsion taqsimotiga ta`sir ko`rsatadi.
Gaz molekulalarining yer tortish kuchi maydoni ta`siridagi konsentratsion taqsimotini birinchi marta L. Bolsman aniqlaganligi uchun taqsimot uning nomi bilan Bolsman taqsimoti deb ataladi.
Agar borometrik formuladagi er sirtidan h balandlikdagi m massali gaz molekulalarining yer tortish kuchi maydondagi potensial energiyasi ekanligini hisobga olsak

kelib chiqadi. Bu formulaga Bolsman taqsimoti deb ataladi.
Bu formula faqatgina yer tortish kuchi maydonida o`rinli bo`lib qolmasdan, istalgan potensial maydondagi gaz konsentratsiyasining taqsimoti uchun o`rinlidir.
Gaz molekulalarining tezliklari bo`yicha taqsimoti Maksvell qonuniga, uning potensial maydondagi konsentratsion taqsimoti Bolsman qonuniga bo`ysinadi. Endi shu taqsimotlar orasidagi umumiy bog`lanishni ko`ramiz.
Nisbiy tezliklar orqali Maksvell taqsimoti

ko`rinishida ifodalanishini aytgan edik. Bu yerda ekanligini e`tiborga olsak,

bo`ladi.
Bu ifodaga Bolsman taqsimotidagi U ning qiymatini qo`ysak,

umumlashgan Maksvell-Bolsman taqsimoti hosil bo`ladi.
Shunday qilib, Maksvell taqsimoti muvozanat holatdagi, ya`ni doimiy temperaturadagi gaz molekulalarining tezliklar bo`yicha taqsimotini ifodalaydi va tashqi potensial maydonga bog`liq emas.
Bolsman taqsimoti esa doimiy temperaturadagi gaz molekulalrining tashqi potensial maydondagi konsentratsiyani taqsimotini ifodalab, gaz molekulalari tezliklar taqsimotiga bog`liq emas. Maksvell taqsimotini tajribada nemis fizigi Otto Shtern 1920- yil tekshirdi. Keyinchalik 1947- yilda O. Shtefn, Isterman va Simpsonlar bilan birgalikda molekulyar dastalar usulidan foydalanib, Maksvell taqsimotining bajarilishini molekulalarning og`irlik kuchi maydonida erkin tushishida ham kuzatdi va Maksvell taqsimoti qonunini to`g`ri ekanligini isbotladi.
Bolsman taqsimotini: ya`ni molekulalarning konsentratsion taqsimoti Bolsman qonuniyatiga bo`ysunishini tajribada J. Perren aniqladi. Buning uchun u bir-biriga aralashmaydigan ikki suyuqlikdan emulsiya tayyorlab, bir emulsiyada ikkinchisini muallaq turadigan mayda tomchilarini hosil qiladi.
Juda sezgir mikroskop yordamida emulsi tomchilari sonining balandlikka qarab o`zgarishini kuzatadi. Bundan muallaq zarralarning balandlik bo`yicha taqsimoti Bolsman qonuniga bo`ysunishini isbotladi. Shu asosda Bolsman doimiysini

aniqlashga ham Perron erishdi.
ga teng ekan.