Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

2.2-§. Fazolarning topologik ko‘paytmalari

Ma’lumki, ko‘rinishda tartiblangan juftliklar majmuasi ikki va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi deb atalar edi. Bu yerda va . Albatta, bu holatda ixtiyoriy sondagi to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasini ham aniqlash mumkin. Bunday ko‘paytmaning elementlari ko‘rinishda bo‘ladi. Boshqacha aytganda ning elementidagi ko‘rinishidagi funksiyalaridan iboratdir.
Agar chekli elementli to‘plamdaniborat bo‘lsa, u holda ko‘paytma ko‘p hollarda ko‘rinishda ham belgilanadi. Uning elementlari tartiblangan yig‘ma to‘plamdan iborat bo‘lib, bu yerda
Bizga va topologik fazolar berilgan bo’lsin. to‘g‘ri ko‘paytmada topologiyani quyidagicha aniqlaymiz: bazaning elementlari ko‘rinishdagi barcha sistemalardan iborat bo‘lib, bu yerda va sistemalar mos ravishda va fazolardagi topologiyalarning bazalaridir. baza orqali aniqlangan topologiya fazodagi ko‘paytmaning topologiyasi deyiladi. Boshqacha aytganda, ko‘paytmadagi topologiyaning bazas ini va lardagi topologiyalar bazalarining ko‘paytmasi tashkil qiladi.
2.2.1-misol. Ma’lumki, tekislik va to‘g‘ri chiziqlaming to‘g‘ri ko‘paytmasi bo‘lib, u ko‘rinishda yoziladi. fazodagi topologiya bazasini esa, ko‘rinishdagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar tashkil qiladi, bu yerda va —ochiq intervallardir (1 -rasm).

1-rasm
Quyidagi proeksiyalarni ko‘raylik.

2.2.2-teorema. Agar va topologik fazolar bo‘lib, ko‘paytmada topologiya aniqlangan bo‘lsa, u holda va akslantirishlar uzluksizdir. Topologik ko‘paytma da esa, va proeksiyalar uzluksiz bo‘ladigan topologiyalarning eng kuchsizidir.
Endi ixtiyoriy (yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi ni ko‘rib chiqaylik. Bu yerda har bir uchun ko‘paytuvchi, to‘plamning quvvati esa, cheksiz bo‘lishi ham mumkin. Har bir uchun topologik fazo bo‘lsin. ko‘paytmada shunday kuchsiz topologiya aniqlaymizki, bu topologiyada har bir proeksiya , uzluksiz bo’lsin. Bu yerda proeksiya har bitta nuqtaga shu nuqtaning o‘rindagi koordinatasi ni mos qo‘yadi. Bu topologiya ko‘paytmadagi topologiya yoki Tixonov topologiyasi deb yuritiladi.
Ko‘paytmada topologiyani bunday aniqlashni birinchi bo‘lib A.N. Tixonov taklif etgan. Mazkur topologiyaning bayoni xususida to‘xtalsak, bu yerda uning oldbazasi tavsifini keltirish nisbatan yengilroq ekanligi ma’lum boladi. Bu oldbaza quyidagicha aniqlanadi: barcha ko‘rinishdagi to‘plamlar ko‘paytmaning to‘plamostilaridir, bu yerda indeks ning, esa, topologik fazo bazasining ixtiyoriy elementidir.
Aniqlanishiga ko‘ra, aytish mumkinki, tenglik o‘rinlidir. Bundan ko‘rinadiki, tayin indeks uchun Sistema ko‘paytmadagi proeksiya uzluksiz bo’ladigan eng kuchsiz topologiyani tashkil qilar ekan. Boshqacha aytganda, har bir ochiq to‘plam topologik fazoning bazasi elementi bo‘lsa, tayin uchun oldbaza elementlari quwati topologik fazoning bazasi elementlari quvvatiga tengdir. Tkkinchi tomondan, tayin har bir indeksga mos element uchun deb, ikkinchi ko‘paytmani bilan belgilab, bu ko‘paytma ko‘rinishidagi to‘plam ostini yo‘lakcha deb atasak, element ning yo’lakcha ko‘paytmasiga teng ekan. Endi to‘plamlar (yo’lakchalar) oilasini Tixonov topologiyasining oldbazasi deb e’lon qilamiz.
Natijada ko‘paytma har bir uchun hamma proeksiyalar uzluksiz bo’ladigan eng kuchsiz topologiya bazasiga ega bo’lamiz.
Tixonov topologiyasi oldbazasining aniqlanishiga ko‘ra, ko‘paytmada Tixonov topologiyasi bazasi elementlari ko‘rinishdagi to‘plamlardan iborat. Bu yerda ixtiyoriy chekli elementlar nabori esa, topologiya bazasining ixtiyoriy elementi. Yuqorida keltirilgan tengliklar va xulosalardan ushbu tenglikni isbotlash mumkin. Quyidagi tenglik o‘rinlidir: agar bo‘lsa, bo‘ladi, bu yerda . Boshqacha aytganda, bazaning ochiq to‘plami quyidagi yig‘ma funksiyadan iboratdir: Ta’kidlash lozimki, ko‘paytmani ko‘paytmaning topologiyasi deb olamiz.
2.2.3-teorema. Ixtiyoriy uchun proeksiya uzluksiz va ochiq akslantirishdir.