Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

2.3-§. Topologik fazolarda akslantirishlarning diagonal va to‘g‘ri ko'paytmasi

Bizga akslantirishlar berilgan bo‘lsin. Bu yerda va ixtiyoriy, lar bo'sh bo’lmagan to‘plamlardir. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy to‘plamlar oilasi va har bir uchun akslantirish aniqlangan bo‘lib, bunda tayin bo‘sh bo‘lmagan to‘plamdir. Bu holda akslantirishlar oilasi (jamlanmasi) kanonik ravishda quyidagicha aniqlangan ma’lum bir akslantirishni vujudga keltiradi.
2.3.1-ta’rif. akslantirishlar oilasining diagonal ko‘paytmasi deb formula bilan aniqlangan akslantirishga aytiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bu yerda har bir uchun akslantirish diagonal akslantirishning komponentasi deyiladi.
Shuni aytish mumkinki, ixtiyoriy akslantirishni birorta akslantirishlar oilasining diagonal ko'paytmasi sifatida qarash mumkin.
Haqiqatan ham, har bir uchun desak, bu yerda proeksiyani qiyinchiliksiz qabul qilishimiz mumkinki, diagonal ko‘paytma berilgan akslantirish bilan ustma-ust tushadi.
2.3.2-ta’rif. Agar ning ixtiyoriy har xil ikki elementi uchun shunday indeks topilsa va uning uchun o‘rinli bo‘lsa, akslantirishlar oilasi to‘plamning elementlarini farqlaydi deyiladi.
Bu ta’rifdan ravshanki, yuqoridagi akslantirishlardan loaqal bittasi inektiv akslantirish bo‘lsa, bu akslantirishlar oilasi to‘plam elementlarini farqlar ekan.
2.3.3-teorema. Agar oila ning elementlarini farqlasa, u holda ularning diagonal ko‘paytmasi indektivdir va -joylashtirishdan iborat.
Shuni ta’kidlash mumkinki, agar diagonal akslantirish inektiv bo‘lsa, bu akslantirishlar oilasi ning elementlarini farqlaydi.
2.3.4-teorema. Agar diagonal ko‘paytma ochiq akslantirish bo’lsa, u holda uning har bir komponentasi ham ochiq akslantirishdir.
2.3.5-teorema. Diagonal ko'paytma uzluksiz bo‘lishi uchun har bir uchun uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Duch kelishimiz mumkin bo’lgan yana bir akslantirishlar oilasini olaylik, bu yerda uchun va lar topologik fazolar bo’lsin. Tabiiyki, akslantirishni ixtiyoriy nuqtaga nuqtani formula bilan mos qo‘yamiz, akslantirishlar sistemasi bu akslantirish ning to‘g‘ri ko‘paytmasi deb yuritiladi. Agar bo‘lsa, akslantirishlar ko‘paytmasi ko’p hollarda ko‘rinishda belgilanadi.
2.3.6-teorema. Akslantirishlarning ko‘paytmasi llfa uzluksiz bo‘lishi uchun har bir uchun uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarlidir.