Bernulli qonuni nima?

Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?
Quyidagi koʻndalang kesim yuzi va balandligi oʻzgaradigan quvurda chapdan oʻngga harakatlanayotgan suyuqlik bilan bogʻliq holatni koʻrib chiqing. Yuqorida kuzatganimizdek, quvur kichraygan qismda suyuqlik tezlashadi va kinetik energiya �KK oladi, siqilgan qismlar yuqoriga qarab harakat qilsa ham, siqib boʻlmaydigan suyuqlik uchun hajmiy oqim oʻzgarmas qolishi kerak. Ammo endi siqishga intilish suyuqlikning yuqoriga qarab harakatlanishiga olib kelgani sababli suv potensial energiya ��Ug​U, start subscript, g, end subscript va kinetik energiya �KK oladi. Suyuqlik olgan energiyani suyuqlik ustida bajarilgan tashqi kuchlar ishiga tenglashtirib Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz. 
[Bernulli tenglamasi Bernulli qonunidan farq qiladimi?]

Aytaylik, biz koʻrib chiqayotgan sistema 1 va 2 suv hajmidan va shu hajmlar orasidagi suyuqlikdan iborat. Agar suyuqlik laminar, yopishqoq boʻlmagan va suyuqlik oqimiga taʼsir qiladigan hech qanday qarshi kuchlar mavjud emas deb olsak, tizimga Δ(�+�)�������Δ(K+U)sistema​delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript dan tashqari qoʻshilgan ixtiyoriy energiya (����ℎ��)(Wtashqi​)left parenthesis, W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript, right parenthesis atrofidagi bosim kuchlari suyuqlik ustida bajargan tashqi ishi tufayli yuzaga keladi. 
[Ogʻirlik kuchi ham ish bajarmaydimi?]
Biz buni matematik nuqtayi nazardan quyidagicha ifodalashimiz mumkin,
����ℎ��=Δ(�+�)�������Wtashqi​=Δ(K+U)sistema​W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript
Dastlab biz suv ustida bajarilgan tashqi ish ����ℎ��Wtashqi​W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript ni topishga harakat qilamiz. 1- va 2-nuqtalar orasidagi suv tashqi ish bajara olmaydi, chunki bu sistemamizning tarkibiy qismidir. Sistemada ustida tashqi ish bajara oladigan bosim chizmada koʻrsatilganidek �1P1​P, start subscript, 1, end subscript va �2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosimdir. 1-nuqtadagi suvning chap tomonida joylashgan �1P1​P, start subscript, 1, end subscript bosim musbat ish bajaradi, chunki bosim kuchi suyuqlik harakati bilan bir xil yoʻnalgan. 2-nuqtadagi suvning oʻng tomonidagi �2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosim manfiy ish bajaradi, chunki uning taʼsir kuchi suyuqlikning harakatiga qarama-qarshi.
Chapdan taʼsir qilayotgan bosim kuchi 1-nuqtadagi suvni �1d1​d, start subscript, 1, end subscript masofa boʻylab surdi deb olaylik. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlgani sababli quvurdagi barcha suv xuddi shu hajmga koʻchadi, shunda 2-nuqtadagi suv �2d2​d, start subscript, 2, end subscript masofaga siljiydi.
Bunda bajarilgan ishni �=��W=FdW, equals, F, d bilan topish mumkin. Bosim kuchi formulasi �=��F=PAF, equals, P, A ni qoʻyib quyidagi formula �=���W=PAdW, equals, P, A, d ni hosil qilishimiz mumkin. Shunda 1-nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan musbat ish �1=�1�1�1W1​=P1​A1​d1​W, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 1, end subscript, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript ga va ikkinchi nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan ish �2=−�2�2�2W2​=−P2​A2​d2​W, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, P, start subscript, 2, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript ga teng boʻladi. 
[Bu yerda ishning ishorasini qanday topamiz?]
Ushbu formulalarni tenglamamiz ���ʻ��=Δ(�+�)�������Wtoʻla​=Δ(K+U)sistema​W, start subscript, t, o, ʻ, l, a, end subscript, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript ning chap tomoniga keltirib qoʻysak,
�1�1�1−�2�2�2=Δ(�+�)�������P1​A1​d1​−P2​A2​d2​=Δ(K+U)sistema​P, start subscript, 1, end subscript, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript
Ammo �1�1A1​d1​A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript va �1�1A1​d1​A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript hadlar bir-biriga teng boʻlishi kerak, chunki ular 1- va 2-nuqta yaqinidagi siljigan suyuqlikning hajmini ifodalaydi. Agar suyuqlikni siqilmas deb olsak, barcha joyda teng hajmlar siljishi kerak, jumladan, yuqori qismda ham. Demak, �1=�1�1=�2�2=�2V1​=A1​d1​=A2​d2​=V2​V, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript, equals, V, start subscript, 2, end subscript boʻlgani uchun biz bu hadni shunchaki �VV sifatida yozishimiz mumkin. Bu tenglamaning chap tarafini soddalashtirishda foydali,
�1�−�2�=Δ(�+�)�������P1​V−P2​V=Δ(K+U)sistema​P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript
Tenglamaning chap tarafi qisqartirildi. Endi tenglamaning oʻng tomonini soddalashtirishimiz kerak. Bu keltirib chiqarishning muhim va nozik qismidir. Yodda tuting, sistemamizga nafaqat 1 va 2-qismlardagi suv, balki shu ikki nuqta orasidagi suv ham kiradi. Katta yopiq sistema qismlarining kinetik va potensial energiyasidagi barcha oʻzgarishlarni qanday qilib hisoblaymiz?
Keltirib chiqarishni tugatish uchun yana bir taxminiy faraz qilishimiz kerak. Biz suyuqlik oqimi bir tekis deb olamiz. “Bir tekis” deganda suyuqlikning quvurdagi maʼlum bir nuqtadan oʻtayotgan tezligi oʻzgarmasligi nazarda tutiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar shaffof quvurning biron-bir qismiga tikilib qarasangiz, har lahzada koʻzingiz oldidan oʻtib ketayotgan yangi suvni koʻrasiz, lekin oqim bir tekis boʻlsa, u holda oldingizdan oʻtayotgan suvning mos nuqtalari bir xil tezlikda harakat qiladi. 
[Bu suyuqlikning tezligi hech qachon oʻzgarmasligini anglatmaydimi?]
Shunday qilib, bir tekis oqish tushunchasi suyuqlik sistemasidagi energiya oʻzgarishini aniqlashga qanday yordam beradi? Quyidagi rasmni koʻrib chiqing. Bizning sistemamiz kulrangga boʻyalgan suyuqlikdan iborat (1-hajm, 2-hajm va ular orasidagi suyuqlik). Birinchi rasmda sistema qandaydir (�+�)���ℎ����ʻ��ℎ(K+U)boshlangʻich​left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, b, o, s, h, l, a, n, g, ʻ, i, c, h, end subscript umumiy energiyaga ega. Ikkinchi rasmda sistema ustida ish bajariladi, natijada u energiya oladi, oʻng tomonga siljiydi va sistema har xil umumiy energiya (�+�)������(K+U)oxirgi​left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, o, x, i, r, g, i, end subscript ga ega boʻladi. Ammo suyuqlik energiyasi uning ustida ish bajarilishidan oldin va keyin bir xil boʻladi. Chizilgan chiziqlar orasidagi sohada suvning joylashishi va tezligi oʻzgaradi, lekin u shunday oʻzgaradiki, oldingi suv bilan bir xil balandlikda va tezlikda (masalan, ��va​v, start subscript, a, end subscript va ��vb​v, start subscript, b, end subscript) boʻlgandek tuyuladi. Bizning sistemamizda farq qiladigan narsa shuki, 2-qism endi quvurning oldingi suyuqlik boʻlmagan qismiga oʻtadi va hozir bizning sistemada hech narsa 1-qismning orqasidagi sohani egallamaydi.

Demak, bu tizim energiyasining umumiy oʻzgarishini shunchaki oxirgi nuqtalarning energiyasini hisobga olgan holda topish mumkinligini anglatadi. Xususan, ish bajarilgandan soʻng, 2-qismda mavjud boʻlgan kinetik va potensial energiyani (�2+�2)(K2​+U2​)left parenthesis, K, start subscript, 2, end subscript, plus, U, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis deb olishimiz mumkin va endi undan 1-qism ortida mavjud boʻlmagan (�1+�1)(K1​+U1​)left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, U, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis energiyani ayirishimiz mumkin. Boshqacha aytganda, Δ(�+�)�������=(�2+�2)−(�1+�1)Δ(K+U)sistema​=(K2​+U2​)−(K1​+U1​)delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 2, end subscript, plus, U, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, U, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis. 
[Baribir ham tushunmadim.]
Buni ish energiya formulasi �1�−�2�=Δ(�+�)�������P1​V−P2​V=Δ(K+U)sistema​P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript ning oʻng tarafiga keltirib qoʻyamiz.
�1�−�2�=(�2+�2)−(�1+�1)P1​V−P2​V=(K2​+U2​)−(K1​+U1​)P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, K, start subscript, 2, end subscript, plus, U, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, U, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis
Endi kinetik energiya �=12��2K=21​mv2K, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared va potensial energiya ��=��ℎUp​=mghU, start subscript, p, end subscript, equals, m, g, h formulalarini keltirib qoʻyamiz,
�1�−�2�=(12�2�22+�2�ℎ2)−(12�1�12+�1�ℎ1)P1​V−P2​V=(21​m2​v22​+m2​gh2​)−(21​m1​v12​+m1​gh1​)P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, m, start subscript, 2, end subscript, g, h, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, m, start subscript, 1, end subscript, g, h, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis
Ushbu tenglamada �1P1​P, start subscript, 1, end subscript va �2P2​P, start subscript, 2, end subscript mos ravishda 1- va 2-hajmli suyuqlik bosimini ifodalaydi. �1v1​v, start subscript, 1, end subscript bilan �2v2​v, start subscript, 2, end subscript mos ravishda 1- va 2-hajmdagi suyuqliklarning tezligini hamda ℎ1h1​h, start subscript, 1, end subscript bilan ℎ1h1​h, start subscript, 1, end subscript mos ravishda 1- va 2-hajmdagi suyuqliklarning balandligini ifodalaydi.
Suyuqlikni siqilmaydigan deb olganimiz sababli 1- va 2-hajmdagi siljigan suyuqliklarning massasi �1=�2=�m1​=m2​=mm, start subscript, 1, end subscript, equals, m, start subscript, 2, end subscript, equals, m bir xil boʻlishi kerak. Bundan �mm ning indekslarini tashlab yuboramiz,
�1�−�2�=(12��22+��ℎ2)−(12��12+��ℎ1)P1​V−P2​V=(21​mv22​+mgh2​)−(21​mv12​+mgh1​)P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, m, g, h, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, m, g, h, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis
Ikkala tarafni �VV ga boʻlamiz va qavslarni ochib chiqamiz,
�1−�2=12��22�+��ℎ2�−12��12�−��ℎ1�P1​−P2​=V21​mv22​​+Vmgh2​​−V21​mv12​​−Vmgh1​​P, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, V, end fraction, plus, start fraction, m, g, h, start subscript, 2, end subscript, divided by, V, end fraction, minus, start fraction, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, V, end fraction, minus, start fraction, m, g, h, start subscript, 1, end subscript, divided by, V, end fraction
Biz siljigan suyuqlik massasining hajmiga nisbati uning zichligiga tengligi �=��ρ=Vm​rho, equals, start fraction, m, divided by, V, end fraction dan ifodani soddalashtiramiz. ��Vm​start fraction, m, divided by, V, end fraction ni �ρrho bilan almashtirsak, quyidagi hosil boʻladi,
�1−�2=12��22+��ℎ2−12��12−��ℎ1P1​−P2​=21​ρv22​+ρgh2​−21​ρv12​−ρgh1​P, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, minus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript
Endi oddiygina algebra yordamida bitta nuqtaga tegishli hadlarni tenglikning bir tomoniga va ikkinchi nuqtaga tegishli hadlarni tenglikning ikkinchi tomoniga olib oʻtamiz,
�1+12��12+��ℎ1=�2+12��22+��ℎ2P1​+21​ρv12​+ρgh1​=P2​+21​ρv22​+ρgh2​P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript
Nihoyat. Bu Bernulli tenglamasi! U sizga laminar (qatlam-qatlam) oqimda bosim �PP kinetik energiya zichligi 12��221​ρv2start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared va potensial energiya zichligi ��ℎρghrho, g, h ning yigʻindisi ixtiyoriy ikki nuqta uchun bir xil boʻlishini aytmoqda. 
[Energiya zichligi nima?]
Bernulli tenglamasini oqayotgan suyuqlik uchun energiyaning saqlanish qonuni sifatida koʻrish mumkin. Bernulli tenglamasi suyuqlik tizimi tomonidan olingan har qanday qoʻshimcha kinetik yoki potensial energiya boshqa suyuqlik tomonidan bajarilgan tashqi ish natijasi ekanini qoʻllashdan kelib chiqdi. Shuni yodda tutish kerakki, ushbu tenglama oʻrinli boʻlishi uchun koʻp shartlar bajarilishi kerak. Biz oqimni laminar va dissipativ kuchlardan xoli deb oldik, yoʻqsa, issiqlik energiyasi ajralgan boʻlardi. Hajmiy oqim oʻzgarmas va oqim tekis boʻlishi kerak, aks holda oʻrta qismning energiyasini qisqartirishimiz nooʻrin boʻlardi. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlishi kerak, aks holda hajm va massalar teng boʻlmasligi ham mumkin.
�+12��2+��ℎP+21​ρv2+ρghP, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h kattalik quvur boʻylab laminar oqayotgan suyuqlikning ixtiyoriy nuqtasi uchun bir xil boʻlgani sababli biz Bernulli qonunini quyidagicha yozishimiz mumkin,
�+12��2+��ℎ=constP+21​ρv2+ρgh=constP, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h, equals, start text, c, o, n, s, t, end text
Bu tenglama har xil suyuqlik sistemalari uchun turlicha boʻladi, biroq dissipativ kuchlardan xoli va laminar oqayotgan suyuqliklarning ixtiyoriy nuqtasida �+12��2+��ℎP+21​ρv2+ρghP, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h oʻzgarmas.