Bernulli sxemasi. Bernulli formulasi. Muavr-laplasning lokal va integral teoremalari

Laplasning integral teoremasi. Eslatib о‘tamizki, Bernulli sxemasida dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni va bu sonning ga yetng bо‘lish ehtimolligi
.
Yuqorida isbotlangan Teorema 3.1 bizga ehtimollikning nomer cheksiz oshgandagi holatini baholash imkonini beradi. Boshqacha aytganda, bu teorema ehtimollikning lokal xossalarini xarakterlaydi. Ushbu paragrafda biz miqdorning taqsimot funksiyasini о‘rganamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritib olaylik:
,
,
.
Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning rо‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning rо‘y berish ehtimolligi bо‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о‘rinli:
.
Isbot. Deyarli ravshanki,
, (3.12)
bu yerda xuddi yuqoridagi kabi
.
Agar deb belgilasak, va belgilashlarimizga kо‘ra
,
bu yerda har qanday uchun
.
Oxirgi tenglikdan (3.12) formulada foydalansak, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi tayinlangan va sonlari uchun


(3.13)
bu yerda
,


.
Dastlab ifodani baholaylik. Ravshanki, bо‘lganda va Rimanning integral yig‘indisi xossasiga kо‘ra
. (3.14)
Endi hadni baholaymiz. Bizga ma’lumki, har qanday uchun
. (3.15)
(3.14) va (3.15) munosabatlardan foydalanib, topamiz:

Oxirgi munosabatni (3.13) va (3.14) tasdiqlar bilan birgalikda qarasak,
(3.16)
yaqinlashishning tо‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Endi (3.16) natijaning uchun ham tо‘g‘ri ekanligini kо‘rsatib, teorema isbotini yakunlaymiz. (3.15) tengsizlikka kо‘ra har qanday uchun chekli soni shunday katta tanlab olish mumkinki,

tengsizlik bajariladi. U holda
. (3.17)
О‘z navbatida (3.16) yaqinlashishga kо‘ra о‘sha soni bо‘yicha nomerni shunday katta tanlab olish mumkinki, barcha va uchun
. (3.18)
Ravshanki,
.
Shuning uchun yana о‘sha soniga kо‘ra chekli sonini shunday katta tanlab olish mumkinki,

tengsizlik bajariladi. Demak,
. (3.19)
Oxirgi tengsizlikda

va
.
Shunday qilib, uchun (3.17)–(3.19) baholardan foydalanib, quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:

Bu yerdan

ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Teorema isbot bо‘ldi.

ADABIYOTLAR RО‘YXATI

1. 
   A.A.Borovkov. Teoriya veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1986.
   
2. 
   A.N.Shiryayev. Veroyatnost. Moskva, «Nauka», 1980.
   
3. 
   B.V.Gnedenko. Kurs teorii veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1969.
   
4. 
   V.Feller. Vvedeniye v teoriyu veroyatnostey i yeye prilojeniY. T. 1,2. Moskva, «Mir», 1984.
   
5. 
   G.M.Fixtengols. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniY. T.1,2,3. Moskva, «Nauka», 1970.
   
6. 
   A.A.Abdushukurov, T.A.Azlarov, A.A.Djamirzayev «Ehtimollar
   

nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar tо‘plami»
Toshkent, «Universitet», 2003 y.