Binomial taqsimot Dispersiya Ta’rif: Binomial taqsimot

Mavzu:Binomial taqsimot.
REJA:

1. 
   Binomial taqsimot
   

2.Dispersiya
Ta’rif:Binomial taqsimot — ehtimollar nazariyasi va uning tatbiqlarida uchraydigan muhim taqsimotlardan biri
. Binomial taqsimot Bu hodisalar yuzaga kelish ehtimoli, ular ikki rejim ostida sodir bo'lishi sharti bilan hisoblanadigan ehtimollik taqsimoti: muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik. X diskret t.m. binomial qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar u 0,1,2,…n qiymatlarni

p  P{X
^{ m}  Cm pmqnm} , (1)

m n

ehtimollik bilan qabul qilsa.

Bu yerda ^{0  p  1,}
q  1 p,
^{m  0,1,..., n} .

Binomial qonun bo‗yicha taqsimlangan X diskret t.m. yaqsimot qonuni quyidagi ko‗rinishga ega:

X=m	0	1	2	…	m	…	n
pm  P{X  m}	qn	C1 p1qn1 n	C 2 p2 qn2 n	…	Cm pmqnm n	…	pn

Nyuton binomiga asosan orqali belgilaymiz.

_n

^{ p}m
m0
^{ ( p  q)}n ^{ 1} . Bunday taqsimotni


Bi(n, p)

Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‗ladi:


^0, agar x  0
^ m m nm

F (x)  _ C_n p q
_m x
, agar 0  x  n

^_1, agar n  x.

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz.

n n n n

n n1
MX  _ m  P{X  m}  _m  P{X  m}  _m  C^m p^mq^nm  np_C^m1 p^m1q^nm 

m0
m1
m1
m1

 np( p  q)^n1  np _.

_n n

n
^{DX } _ ^{m2P{X  m}  (np)2 } _^{m2Cm pmqnm  (np)2 } | ^{m2  m(m 1)  m}

m0

m2

Ushbu belgilar (muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik) mutlaqo o'zboshimchalikdir, chunki ular yaxshi yoki yomon narsalarni anglatmaydi. Ushbu maqola davomida biz binomial taqsimotning matematik shaklini ko'rsatamiz va keyin har bir atamaning ma'nosi batafsil tushuntiriladi. X = 0, 1, 2, 3… .n bilan, bu erda:

– P (x) aniq bo'lish ehtimoli x o'rtasidagi muvaffaqiyatlar n urinishlar yoki sinovlar.
– x muvaffaqiyatlar soniga mos keladigan qiziqish hodisasini tavsiflovchi o'zgaruvchidir.
– n urinishlar soni
– p bu 1 urinishda muvaffaqiyatga erishish ehtimoli
– nima shuning uchun 1 urinishda muvaffaqiyatsizlik ehtimoli q = 1 - p
"!" Undov belgisi faktorial belgilar uchun ishlatiladi, shuning uchun:
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24

2 Kontseptsiya
Binomial taqsimot voqea sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmagan vaziyatlarni tasvirlash uchun juda mos keladi. Agar bu sodir bo'lsa, bu muvaffaqiyatga erishadi, agar bo'lmasa, bu muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Bundan tashqari, muvaffaqiyat ehtimoli doimo o'zgarmas bo'lishi kerak.
Ushbu shartlarga mos keladigan hodisalar mavjud, masalan, tanga tashlash. Bunday holda, biz "muvaffaqiyat" yuzini olmoqda deb aytishimiz mumkin. Ehtimollik ½ ga teng va tanga necha marta tashlanmasin o'zgarmaydi. Ruletka aylanayotganda ma'lum bir ishlab chiqarishni yaxshi qismlarga va nuqsonli qismlarga ajratish va qora o'rniga qizil rang olish bilan bir qatorda halol o'limning rulosi ham yaxshi misoldir.
xususiyatlari
Binomial taqsimotning xususiyatlarini quyidagicha umumlashtirishimiz mumkin:
- Har qanday hodisa yoki kuzatish cheksiz populyatsiyadan almashtirilmasdan yoki almashtirish bilan cheklangan populyatsiyadan olinadi.
- Faqat ikkita variant ko'rib chiqiladi, bir-birini istisno qiladi: muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, boshida tushuntirilgandek.
- Har qanday kuzatuvda muvaffaqiyat ehtimoli doimiy bo'lishi kerak.
- har qanday hodisaning natijasi boshqa hodisalardan mustaqil.
Ilova misoli
Keling, oddiy voqeani ko'rib chiqaylik, bu halol o'limni 3 marta aylantirish orqali 2 bosh 5 ga ega bo'lishi mumkin. 3 ta uloqtirishda 2 ta 5 ta boshni olish ehtimoli qanday?
Bunga erishishning bir necha yo'li mavjud, masalan:
- Dastlabki ikkita ishga tushirish 5 ta, keyingisi esa yo'q.
- Birinchisi va oxirgisi 5, ammo o'rtasi emas.
- Oxirgi ikkita uloqtirish 5 tani tashkil qiladi, birinchisi esa yo'q.
Keling, misol sifatida tavsiflangan birinchi ketma-ketlikni olamiz va uning yuzaga kelish ehtimolini hisoblaymiz. Birinchi rulonda 5 boshni olish ehtimoli 1/6 ga teng, ikkinchisida ham, chunki ular mustaqil hodisalardir.
Oxirgi rulonda 5 dan boshqa boshni olish ehtimoli 1 - 1/6 = 5/6 ga teng. Shuning uchun, ushbu ketma-ketlikning paydo bo'lishi ehtimoli ehtimolliklar hosilasi:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5 / 216 = 0.023
Qolgan ikkita ketma-ketlik haqida nima deyish mumkin? Ularning ehtimoli bir xil: 0,023.
Va bizda jami uchta muvaffaqiyatli ketma-ketlik mavjud bo'lganligi sababli, umumiy ehtimollik quyidagicha bo'ladi:
P (3 ta tashlanishda 5 ta 2 bosh) = Mumkin bo'lgan ketma-ketliklar soni x ma'lum bir ketma-ketlik ehtimoli = 3 x 0,023 = 0,069.
Keling, bajarilgan binomiyani sinab ko'raylik:
x = 2 (3 zarbada 5 dan 2 bosh olish muvaffaqiyat)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6


Yechilgan mashqlar
Binomial tarqatish mashqlarini echishning bir necha yo'li mavjud. Ko'rib turganimizdek, eng sodda echimlarni qancha muvaffaqiyatli ketma-ketliklar borligini hisoblash va keyin ularni tegishli ehtimolliklar bilan ko'paytirish orqali hal qilish mumkin.
Biroq, ko'p variantlar mavjud bo'lganda, raqamlar kattalashib boradi va formuladan foydalanish afzalroqdir.
Agar raqamlar bundan ham yuqori bo'lsa, binomial taqsimot jadvallari mavjud. Biroq, ular hozirda hisoblashni osonlashtiradigan ko'plab turdagi kalkulyatorlar foydasiga eskirgan.
1-mashq
Er-xotinning 0,25 qon O guruhiga ega bo'lish ehtimoli bor bolalari, er-xotinning jami 5 nafar farzandi bor. Javob: a) Bu
holat binomial taqsimotga mos keladimi? B) Ularning to'liq 2 tasi O tipidagi bo'lish ehtimoli qanday?
Qaror
a) binomial taqsimot sozlangan, chunki u avvalgi bo'limlarda belgilangan shartlarga javob beradi. Ikkita variant mavjud: O guruhiga ega qon "muvaffaqiyat", ammo yo'qligi "muvaffaqiyatsizlik" va barcha kuzatuvlar mustaqil.
b) biz binomial taqsimotga egamiz:

x = 2 (O guruhi qoni bo'lgan 2 bolani oling)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
2-misol
Bir universitetning ta'kidlashicha, kollej basketbol jamoasi talabalarining 80% bitiradi. Tergov, bir muncha vaqt oldin universitetga o'qishga kirgan ushbu basketbol jamoasiga tegishli bo'lgan 20 talabaning akademik yozuvlarini o'rganib chiqadi.
Ushbu 20 talabadan 11 nafari o'qishni tugatgan va 9 nafari maktabni tark etgan.
Agar universitetning so'zlari rost bo'lsa, basketbol o'ynaydigan va bitirgan talabalar soni 20 kishidan iborat bo'lib, binomial taqsimotga ega bo'lishi kerak. n = 20 Y p = 0,8. 20 nafar futbolchining to'liq 11 nafarini bitirishi ehtimoli qanday?
Qaror
Binomial taqsimotda:

x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2

3-misol
Tadqiqotchilar maxsus dasturlar orqali qabul qilingan tibbiyot talabalari va muntazam qabul qilish mezonlari bo'yicha qabul qilingan tibbiyot talabalari o'rtasida bitiruv darajalarida sezilarli farqlar mavjudligini aniqlash uchun tadqiqot o'tkazdilar.
Bitiruv darajasi maxsus dasturlar orqali qabul qilingan tibbiyot talabalari uchun 94% ni tashkil etdi (ma'lumotlar asosida Amerika tibbiyot birlashmasi jurnali).
Agar maxsus dasturlardan 10 nafari tasodifiy tanlangan bo'lsa, ularning kamida 9 nafari bitirganlik ehtimolini toping.
b) Maxsus dasturlardan tasodifiy ravishda 10 nafar talabani tanlab, ulardan faqat 7 nafari bitirganligini aniqlash g'ayrioddiy bo'ladimi?
Qaror
Maxsus dastur orqali qabul qilingan talabani bitirishi ehtimoli 94/100 = 0,94 ga teng. Tanlangan n = 10 maxsus dastur talabalari va ularning kamida 9 nafari bitirishi ehtimolini bilmoqchisiz.
Binomial taqsimotda quyidagi qiymatlar almashtiriladi:
x = 9
n = 10
Adabiyotlar

1. 
   Berenson, M. 1985. Menejment va iqtisodiyot uchun statistika. Interamericana S.A.
   
2. 
   MathWorks. Binomial taqsimot. Qayta tiklandi: es.mathworks.com
   
3. 
   Mendenhall, W. 1981. Menejment va iqtisodiyot bo'yicha statistika. 3-chi. nashr. Grupo Editorial Iberoamérica.
   
4. 
   Mur, D. 2005. Amaliy asosiy statistika. 2-chi. Nashr.
   
5. 
   Triola, M. 2012. Boshlang'ich statistika. 11-chi. Pirson ta'limi.
   
6. 
   Vikipediya. Binomial taqsimot. Qayta tiklandi: es.wikipedia.org