Biortogonal koyfletlar

Biortogonal koyfletlar
Tarixiy jihatdan Kolfman mezoni birinchi marta ortogonal to'lqinli tizimlarni loyihalash uchun ishlatilgan [14]. Ushbu bobda biz uni biothogonal to'lqin tizimlarining yangi sinfini loyihalash uchun kengaytiramiz, biz ularni hiortogonal Coiflet tizimlari deb ataymiz. Biz ushbu yangi to'lqin tizimlarining xususiyatlarini o'rganamiz va ularning bioortogonal to'lqin tizimlarining eng muvaffaqiyatli ilovalaridan biri bo'lgan tasvir ma'lumotlarini siqishda ishlashini baholaymiz.
4.1 Ta’rif
Ta’rif: 2 A biortoganal to’lqin tizimi biortoganal coiffet tartib tizimidir. agar


uchun (4.1)
uchun (4.2)
uchun (4.3)
3-teoremaga ko’ra bu kelib chiqadi
uchun (4.4)
4.2 Dizayn
1-teorema va ikkinchi teoremaga muofiq, (4.2) ekvivalentdir.
uchun (4.5)
(4.3) ga teng.
uchun (4.6)
(4.4) ga teng
uchun (4.7)

Yuqoridagi tenglamalarga qo'shimcha ravishda, va da keltirilgan mukammal qayta hisoblashni bajarishi va (1.24) shartini qanoatlantirishi kerak.

4.2.1 Sintez filtrlarini qurish
Biz (4.5) va (4.7) birinchi bo'lib loyihalash uchun foydalanamiz. (4.5) va (4.7) ni birlashtirib, biz shunday xulosaga kelamiz
uchun (4.8)
Biz ning barcha litrlar ichida eng qisqa uzunlikka ega bo'lishini talab qilamiz (4.8) da h bo'yicha mustaqil shartlar mavjud bo'lgani uchun biz ning hajmini (4.8) bo'lishini aniqlaymiz .E'tibor bering, bu chiziqli shart-sharoitlar tabiiy ravishda ikki qismga bo'linadi: juft indeksli koeffitsientlar va toq indeksli koeffitsientlar shartlari. Birinchi shartlar to'plamini quyidagicha ifodalash mumkin


=
agar juft bo'lsa; (4.9)
=
agar toq bo'lsa. (4.10)
Yechim aynan shunday ekanligini tushunish oson
(4.11)
Ikkinchi qism quyidagicha yozilishimiz mumkin


=
agar juft bo'lsa; (4.12)
=
agar toq bo'lsa. (4.13)
Ushbu bir vaqtda chiziqli tenglamalarning koyfisent matritsasi yagona bo'lmagan Vandermonde matritsasi bo'lganligi sababli, yagona yechim mavjud. Toq indeksli nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar uchun yopiq shakldagi ifodalar tomonidan berilgan
Agar keyin bu Haar filtrini beradi [6], [36];


Agar keyingi uchun
(4.14)
Agar , keyin
. (4.15)
(411) dan ning haqiqiy uzunligi uchun ekanligini tushunish oson. Xususan, indekslar dan gacha, agar L juft bo'lsa va dan va toq bo'lsa.
(4.11) ga javob beradigan filtrlar odatda interpolyatsiya qiluvchi filtrlar yoki deb ataladi trous algoritmida uzluksiz to'lqinli konvertatsiya namunalarini tez hisoblash uchun ishlatiladigan trous filtrlari , agar uchun keyin I tartibdagi Lagrange yarim polosali past o'tkazuvchan filtriga to'g'ri keladi Uning chastotali javobi tomonidan berilgan
(4.16)
Bu erda pastki belgisi bioortogonal Coietsystem tartibini bildiradi va


. (4.17)
Agar uchun keyin foydalanish (4.11) dan foydalaniladi, (4.14 ) (4.15)dan biz shuni olamiz.
. (4.18)
4.2.2 Tahlil filtrlarini qurish
Endi loyihalash uchun (1.24) va (4.6) dan foydalanamiz. va filtrlarining uzunliklari mos ravishda va deb faraz qilaylik. Demak, va bizda jami bor Loyihalash uchun erkinlik darajasi . Berilgan . uchun (124) h bo'yicha chiziqli shartlarni beradi. 3- teoremaga ko'ra, (4.4) dagi shartlar bajarilganligi sababli (4.1) da berilgan shartlar avtomatik ravishda bajariladi demak erkinlik darajalari qolgan. Biz (4.6) ning yo‘qolib borayotgan momentlari sonini ko‘paytirish uchun yoki teng ravishda ni maksimallashtirish uchun qolgan barcha erkinlik darajalaridan foydalanamiz: ya’ni et ni o‘rnatamiz. Shunday qilib, degan xulosaga kelamiz. Faraz qilaylik ning kattaligi ning koeffitsientlarini aniqlash uchun bir vaqtning o'zida jami N ta chiziqli tenglamani beradigan (1.24) va (4.6) ni yechishga harakat qilamiz.
(4.11) dan foydalanib, (1.24) da tenglamalarini qayta yozishimiz mumkin, ularning barchasi juft indeksli koeffitsientlarning aniq shartlarini o'z ichiga oladi, masalan, uchun. . ,
(4.19)
bu ning juft indeksli koeffitsientlarini yuqoridagi tenglamalari bilan va ning toq indeksli koeffitsientlari bilan yagona aniqlash mumkinligini bildiradi. Demak, biz birinchi navbatda toq indeksli koeffitsientlarni aniqlash niyatidamiz. Har qanday va filtri uchun belgini belgilaymiz
(4.20)
(4.6) ning chap tomonini qayta yozish uchun (4.19) dan foydalanamiz
(4.21)
(4.22)


(4.23)
(4.24)
(4.25)
dan . Demak, agar bo'lsa, toq indeksli koeffitsientlarni bir vaqtning o'zida jami chiziqli tenglamalarni, ya'ni o'sha juft indeksli koeffitsientlarning aniq shartlarisiz tenglamalarini yechish orqali aniqlashimiz mumkin. (1.24) dan va tenglamalari (4.6) yuqoridagi qayta yozilgan shakllar yordamida. Keyinchalik, ikkita va holatlari uchun ushbu chiziqli tenglamalarni qanday echishni muhokama qilamiz.
Bu tufayli (4.8), (4,6) keladi.
(4.26)
bundan uchun. Bu tenglamamalarni va (1.24) dan foydalangan holda ifodalaymiz, matritsa formati yoki
= (4/27)
Bu yerda va lar pastki uchburchak matritsasi va mos ravishda yuqori uchburchak matritsasi.

agar L juft bo'lsa
agar L toq bo’lsa (4.28)

agar L juft bo'lsa
agar L toq bo’lsa (4.29)
Bu matritsa vandermonde ma

agar L juft bo'lsa
agar L toq bo’lsa (4.30)
matritsalar, , va to'g'ri o'lchamdagi nol matritsalar - uzunliklarning nol vektorlari (mos ravishda va ,
uzunlikdagi vektor va tomonidan berilgan.
ning determinanti va ning determinantlarining ko'paytmasi bo'lganligi sababli, bularning barchasi yagona bo'lmagan matritsalardir, matritsa ham birlik emas. Shunday qilib, har doim yagona yechim mavjud .
Biz beramiz uchta holatda ning nolga teng bo'lmagan toq indeksli barcha koeffitsientlari uchun formulalar:
Agar bo’lsa
Agar , keyingisi uchun ,
(4.31)
Agar keyingisi uchun ,
(4.32)
Ko'ramizki, matritsa faqat ga bog'liq bo'lgani uchun, ning toq indeksli koeffitsientlari ham faqat ga bog'liq. Bundan tashqari, (4.14) va (4.15) ni (4.31) va (4.32) bilan taqqoslab, agar bo'lsa, unda degan xulosaga kelamiz.
(4.33)
Har qanday uchun ning koeffitsientlari barcha ikkilik kasrlar ekanligini bilganimiz uchun (4.33) va (4.19) dan h ning koeffitsientlari ham ikkilik kasrlar degan xulosaga kelamiz. holi: bir vaqtning o'zida chiziqli tenglamalarning tuzilishi bu ish uchun ko'proq ishtirok etadi. Biz bu tenglamalarni yechish uchun bilvosita yondashuvdan foydalanamiz. Aslida, (4.25) ni rekursiv hisoblash usulini taqdim etadi.
uchun (4.34)
Bu yerda bo’lganda
(4.35)
uchun va (1.24) dan matritsa formati yordamida vektori berilgan
(4.36)
va - mos ravishda va uzunlikdagi nol vektorlar va, va holati uchun berilganlar bilan bir xil. Shuning uchun, bu holat uchun har doim yagona yechim mavjud, garchi uning yopiq shakli ancha murakkab bo'lishi mumkin. ning haqiqiy uzunligi uchun ga teng. Xususan, indekslar dan va gacha. Agar bo'lsa, u holda
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)

(4.42)
Ba'zi biortogonal Coiflet sistemalar uchun biz 4.1-jadvalda va koeffitsientlarini sanab o'tamiz.

4.3 Xususiyatlari