Bir argumentning funksiyalari

Ikki argumentning funksiyalari.
Agar X va Y tasodifiy miqdorlar qabul qiladigan qiymatlarining har bir juftligiga biror qoidaga ko‘ra Z tasodifiy miqdor mos qo‘yilsa, u holda Z tasodifiy miqdor X va Y ikki tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va kabi belgilanadi.
funksiyaning amaliyotda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan xususiy holi tasodifiy miqdorning taqsimotini topamiz.
ikki o‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor f(X,Y) birgalikdagi zichlik funksiyaga ega bo‘lsin. (1) formuladan foydalanib, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz:


Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, tenglik o‘rinli bo‘ladi va (2) formula

(3)

ko‘rinishda bo‘ladi.Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimoti shu tasodifiy miqdorlar taqsimotlarining kompozitsiyasi deyiladi. Z tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi ko‘rinishda yoziladi, bu yerda * - kompozitsiya belgisi.

Xuddi shunday agar ko‘rinishda yozib olsak, uchun boshqa formulaga ega bo‘lamiz:

,
agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda

.

tasodifiy miqdorlarning taqsimotlarini topish ham xuddi shunga o‘xshash amalga oshiriladi.

Misol. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lib, , bo‘lsa, ning taqsimotini toping. (3) formulaga asosan:



,

ya’ni . Demak, bog‘liqsiz, normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ( parametrli) yig‘indisi ham normal taqsimlangan ( parametrli) bo‘lar ekan.

Shartli taqsimot qonunlari

(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni tashkil etuvchi X va Y t.m.lar bog‘liq bo‘lsa, ularning bog‘liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.

(X,Y) ikki o‘lchovli diskret t.m. birgalikdagi taqsimot qonuni , bo‘lsin. U holda

, (4)

ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar Y t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda

.
Xuddi shunday,
, (5)
ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar X t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.
1-misol. (X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni birgalikdagi taqsimot jadvali berilgan:
Quyidagilarni toping: a) X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari; b) X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.

X \ Y	1	2	3
0.1	0.12	0.08	0.40
0.2	0.16	0.10	0.14

a) va tengliklardan:

Y	1	2	3
P	0.28	0.10	0.54

X	0.1	0.2
P	0.60	0.40

,

b) (5) formulaga asosan: ,

. X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

X	0.1	0.2

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli t.m. uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. (X,Y) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

Y t.m.ning X=x bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(6)

ifodaga orqali aniqlanadi.

Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining kabi xossalariga egadir.
Xuddi shunday, X t.m.ning Y=y bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(7)
tenglik orqali aniqlanadi.
(6) va (7) tengliklarni hisobga olib, zichlik funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

. (8)

(8) tenglik zichlik funksiyalarning ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi.