Bir faktorli chiziqli va ikkinchi tartibli regression matematik modellar. Chiziqli va kvadratik regression modellar qurishga doir misollar

Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.

№
1	3,2	4,0	12,80	10,24	16,00	4,06	3,67
2	3,0	3,8	11,40	9,00	14,44	4,08	3,56
3	3,10	3,5	10,85	9,61	12,25	4,07	3,40
4	2,8	3,0	8,40	7,84	9,00	4,10	3,14
5	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,03	3,88
6	3,8	4,2	15,96	14,44	17,64	3,98	3,78
7	4,0	4,6	18,40	16,00	21,26	3,96	3,99
8	3,5	4,5	15,75	12,25	20,25	4,02	3,94
9	3,9	3,1	12,09	15,21	9,61	3,97	3,19
10	4,5	4,1	18,45	20,25	16,81	3,9	2,72
11	4,6	4,8	22,08	21,26	23,04	3,89	4,09
12	4,2	4,0	16,80	17,64	16,00	3,93	3,67
	44	48	177,94	145,05	195,66	48	44

Shunday qilib,  =-0,12x+4,44.
Jarayon yoki ob’yektning bitta chiqish ko`rsatkichi bo`yicha regression modelini qurish uchun X faktorning keng miqyosda o`zgaradigan qiymatlari bo`yicha faol tajriba o`tkaziladi.
Faol tajriba natijalari bo`yicha rejalashtirish matritsasini tuzamiz (2- jadval).
2- jadval

u	Xu	V
		Yuv
		1	2	3		m
1	X1	Y11	Y12	Y13	.......................	Y1m
2	X2	Y12	Y22	Y23	.......................	Y1m
...	...	...	...	...	.......................	...
N	XN	Y1N	Y2N	Y3N	.......................	YNm

Y_uv larning qiymatlari bo`yicha ularning o`rta qiymatlari va dispersiyalarini hisoblaymiz:

So`ng quyidagi operatsiyalar bajariladi:

1. 
   Keskin farq qiluvchi ma’lumotlarni chiqarib tashlash.
   

Bu operatsiya Smirnov-Grabs mezoni yordamida bajariladi.Smirnov – Grabs mezonining qiymati quyidagicha hisoblanadi:
Y_imax uchun

Y_imin uchun

V_xmax, V_xmin jadval qiymatlari 1- ilovadan topilgan V_j[r_D,m] bilan solishtiriladi, bunda r_D ishonchlilik extimoli, r_D=1- (-ahamiyatlilik sathi) va m- o`lchashlar soni. Agar V<sub>xmax</sub>>V<sub>j</sub>[r<sub>D</sub>,m] bo`lsa, V_xmax chiqarib tashlanib, undan keyingi eng katta qiymat uchun Smirnov-Grabs mezoni hisoblanadi va x.k.. V_xmin>V_j[r_D,m] bo`lsa, V<sub>xmin</sub> chiqarib tashlanib, undan keyingi eng kichik qiymat uchun Smirnov-Grabs mezoni hisoblanadi va x.k.. Jarayon V<sub>xmax</sub>j[r<sub>D</sub>,m] va V<sub>xmin</sub>j[r<sub>D</sub>,m] shartlar bajarilgunga qadar davom ettiriladi. So`ng chiqarib tashlangan ma’lumotlar o`rinlari yangi tajriba natijalari bilan to`ldiriladi va yana o`rta qiymat, dispersiyalar hisoblanib, yana 1- operatsiya bajariladi.

2. 
   Y_uv tasodifiy miqdorlarning normal taqsimot qonuniga bo`ysunishi haqidagi farazni tekshirish.
   

Bu operatsiya mezon yordamida bajariladi, bunda Q=q_m(Y_m-Y₁)+...+q_m-k+1(Y_m-k+1–Y_k); m juft bo`lganda m toq bo`lganda hollari uchun q_m-i+1 ning qiymatlari 4- ilovada keltirilgan. So`ng 5- ilovadan W<sub>j</sub>[r<sub>d</sub>=1-=0,95; m] jadval qiymati qaraladi. Agar W<sub>x</sub>>W<sub>j</sub> shart bajarilsa, Y<sub>uv</sub> tasodifiy miqdor taqsimotining Normal qonuniga bo`ysunishi haqidagi faraz tasdiqlanadi.
3. Tajriba natijalari dispersiyalarning bir jinsliligi haqidagi farazni tekshirish. Bu farazni tekshirish uchun Kochren mezoni qo`llaniladi:
.

So`ng 6- ilovadan G<sub>j</sub>[1-;N;f{S<sub>u</sub><sup>2</sup>}=m-1] jadval qiymati topilib, G<sub>x</sub> bilan solishtiriladi. Agar G<sub>x</sub>< G<sub>j</sub> shart bajarilsa dispersiyalarning bir jinsliligi haqidagi faraz to`g`ri deb topiladi.

4. O`rtacha dispersiyani aniqlash.

O`rtacha dispersiya

ko`rinishdagi formula bo`yicha aniqlanadi.
Bu dispersiyaning ozodlik darajasi soni f{S₁²}=N(m-1) ga teng bo`ladi.

1. 
   Regression modelning ko`rinishini aniqlash.
   

Regression modelning ko`rinishini aniqlash uchun tajriba natijalari bo`yicha ma’lumotlarning bo`lingan va bo`linmagan ayirmalari hisoblanadi. Agar tajriba o`tkazish natijasida juftlik qiymatlari olingan bo`lsa, birinchi tartibli bo`lingan ayirmalar quyidagicha hisoblanadi:

Ikkinchi tartibli bo`lingan ayirmalar

Birinchi tartibli bo`linmagan ayirmalar

Ikkinchi tartibli bo`linmagan ayirmalar

Bo`linmagan ayirmalardan X faktor o`zgarmas qadam bilan o`zgarganda foydalaniladi.

Agar_bi_bi-1 2S₍₁₎{Y} yoki_bMi_bMi-1 2S₍₁₎{Y}, _i=2,...,_N-2 shartlar bajarilsa, matematik modelni Y_x=a₀+a₁x yoki Y_x=d₀+a1(X-X) chiziqli funktsiyalar ko`rinishida qidiriladi, bunda a₀,a₁,d₀,d₁ noma’lum koefitsiyentlar.
Agar yuqoridagi shartlar bajarilmasa, quyidagi shartlarning bajarilishi tekshiriladi:
_bi+1_bi-1 2S₍₁₎{Y} yoki _bMi+1_bMi 2S₍₁₎{Y}, _i=2,...,_N-3 ()
Agar bu shartlar bajarilsa, model
Y_x=a₀+a₁X+a₂X²

ikkinchi darajali polinom ko`rinishida qidiriladi. Agar () shartlar bajarilmasa, 3-tartibli bo`lingan yoki bo`linmagan ayirmalar hisoblanib, yana yuqoridagi tengsizliklarning bajarilishi tekshiriladi, va hokazo.

6. Regressiya koeffitsiyentlarini aniqlash.
Eng kichik kvadratlar usuli bo`yicha Y_X=a₀+a₁X chiziqli modelning noma’lum a₀ va a₁ koeffitsiyentlari quyidagi tenglamalar tizimidan aniqlanadi.

• 
  Bu tizimni yechish uchun quyidagi determinantlarni hisoblaymiz:
  

Y_x=d₀+d₁(X-X) bo`lganda noma’lum d₀ va d₁ ga nisbatan quyidagi tenglama-lar tizimini tuzamiz:

Bunda tizimni yechib larni topamiz.

Y_x=a₀+a₁X+a₂X² bo`lganda a₀,a₁,a₂ noma’lum koeffitsiyentlar

tizimdan topiladi.

Bunda quyidagi asosiy va yordamchi determinantlar hisoblanadi

Agar shart bajarilsa, a₀, a₁, a₂ koeffitsiyentlarni hisoblashda X ning kodlangan qiymatlaridan foydalanish mumkin. Bunda faktor asosiy sathining natural qiymati bo`lib, faktorning o`zgarish intervali bo`ladi. Noma’lum modelning kodlangan qiymati Y=b<sub>0</sub>+b<sub>1</sub>x+b<sub>2</sub>x<sup>2</sup> ko`rinishda bo`ladi,

bunda a_j koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi: