Bir jinsli chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari tizimi mavzusi tarqatma materiali

Bir jinsli chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari tizimi mavzusi tarqatma materiali

Ozod hadlari 0 lardan iborat bo’lgan tenglamalar sistemasiga bir jinsli tenglamalar sistemasi deyiladi va u umumiy holda quyidagicha belgilanadi:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = 0

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = 0 (1)
……………………………….
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mn x_n = 0

1. 
   sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalarini tuzamiz:
   

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₁₁ a₁₂ … a_1n 0

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n ; B = a₂₁ a₂₂ … a_2n 0
a_m1 a_m2 … a_mn a_m1 a_m2 … a_mn 0

A va B matritsalarning ranglari har doim teng bo’ladi. Haqiqatdan ham B dagi nolli ustunni o’z ichiga oluvchi barcha minorlar nolga teng. B ning rangini aniqlashda bunday ustun hisobga olinmaydi. B matritsa qolgan ustunlari bilan A dan farq qilmaydi. Shu sababli τ_A = τ_B.

Demak, berilgan (1) bir jinsli sistema doimo yechiladigan sistemadir. (1) sistemani 0, 0,…0 qiymatlar qanoatlantiradi. Bundan ko’rinadiki, bir jinsli tenglamalar sistemasi har vaqt quyidagi yechimga ega:
0, 0,…, 0
Nol yechimga trivial yechim deyiladi.
Agar (1) sistemasining yechimlari lardan hech bo’lmaganda bittasi nolga teng bo’lmasa, bu yechim nolmas yechim deyiladi.
Agar matritsalarning rangi τ_A=τ_B bo’lib, τ=n bo’lsa, berilgan bir jinsli sistema bitta yechimga, ya’ni nol yechimga ega bo’ladi.
Agar τ_A=τ_B bo’lib, τ bo’lsa, sistemaning yechimlari cheksiz ko’p bo’lib, ularning bittasi nol yechim, qolganlari esa nolmas yechimdan iborat bo’ladi.
Teorema: Bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun sistema matritsasining rangi noma’lumlar sonidan kichiq bo’lishi zarur va yetarlidir.
1- natija. Bir jinsli sistemada noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta bo’lsa, sistema noldan farqli yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin.
2- natija. n noma’lumli n ta bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimlarga ega bo’lishi uchun sistemaning determinanti nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.


1- misol. Berilgan bir jinsli tenglamalarp sistemasini yeching:
2x₁ – x₂ – 3x₃ + x₄ = 0
x₁ + 3x₂ + 2x₃ – 2x₄ = 0
3x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0
6x₁ + 4x₂ + x₃ + 2x₄ = 0.
Yechilishi: Tenglamalar sistemasining rangini topamiz. Buning uchun A matritsani tuzamiz:
2 -1 -3 1
A = 1 3 2 -2
3 2 2 3
6 4 1 2

Elementar shakl almashtirishni bajaramiz, ya’ni birinchi, ikkinchi va uchinchi satr mos elementlarini o’zaro qo’shib, to’rtinchi satrning mos elementlaridan ayiramiz. Hosil bo’lgan sonlarni to’rtinchi satr elementlari o’rniga yozamiz:

2 -1 -3 1 2 -1 -3 1

A = 1 3 2 -2 ~ 1 3 2 -2
3 2 2 3 3 2 2 3
6 4 1 2 0 0 0 0

A matritsaning determinantini tuzib, uning minorlari ichida noldan farqlisini qidiramiz. Bunday minor mavjud, masalan:

2 -1 -3
 = 1 3 2 = 12 – 6 – 6 + 27 – 8 + 2 = 21 ≠ 0

3 2 2

Demak, A matritsaning rangi τ_A = 3 ga teng. Berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar soni 4 ta. Bundan ko’rinadiki, noma’lumlar soni matritsa rangidan katta. Shuning uchun yuqoridagi teoremaga asosan, sistema noldan farqli yechimga ega. Berilgan sistema quyidagi sistemaga teng kuchli:

2x₁ – x₂ – 3x₃ + x₄ = 0
x₁ + 3x₂ + 2x₃ – 2x₄ = 0
3x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0

x₁, x₂ va x₃ noma’lumlar oldidagi koeffisientlardan tuzilgan determinant  ≠ 0 bo’lganligi uchun x₄ larni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib, hosil bo’lgan sistemani Kramer formulalari yordamida yechamiz ( = 21 ekanligini yuqorida aniqlagan edik):

-x₄ -1 -3 2 -x₄ -3
x₁ = 2x₄ 3 2 = -31x₄; x₂ = 1 2x₄ 2 = 43x₄;
-3x₄ 2 2 3 -3x₄ 2

2 -1 -x₄
x₃ = 1 3 2x₄ = -28x₄.
3 2 -3x₄


U holda, x₁ = x₄; x₂ = x₄; x₃ = - x₄ = - x₄ yechimlar topiladi. Bu yechimlar berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlaridan iborat.