Bir o‘lchovli optimallashtirish masalalarini yechishning nyuton usuli

BIR O‘LCHOVLI OPTIMALLASHTIRISH MASALALARINI YECHISHNING NYUTON USULI

O‘.N.Qalandarov - Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU kafedra mudiri,
F.S.Raximova - Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU katta o`qituvchisi,
Sultonov H.B. - Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU DIF talabasi
Optimallashtirish bu biror jarayonda eng yuqori samaradorlikka erishish uchun mavjud imkoniyatlarning eng yaxshi variantini tanlashdir. Bir o`lchovli optimallashtirish, ya`ni bir o`zgaruvchili funksiyani optimallashtirish - optimallashtirish masalalarining eng soda hollaridan hisoblanadi. Shunday bo`lsa ham bunday masalalar optimallashtirish nazariyasida muhim o`rin tutadi. Sababi shundaki, bir o`lchovli optimallashtirish masalalri muhandislik amaliyotida tez-tez uchrab turadi va bundan tashqari murakkab ko`p o`lchovli optimallashtirish masalarida keng qo`llaniladi.
Kirish
Optimallashtirish masalalarini yechish uchun quyidagi ketma-ketlikda amallar bajariladi.
Aytaylik, f(x) funksiya ikki marta differeniallanuvchi bo`lsin. Bizga ma’lumki, bunday funksiyaning minimumga erishish sharti:
bo`lib, bu zaruriy shart hisoblanadi. - nuqta minimum nuqta bo`lishi uchun esa:
shart yetarli shart hisoblanadi.

Nyuton Rapson Usuli Formulasi

Ushbu formulaga Kvazi Nyuton yoki Nyutonning modifikatsiyalangan usuli deyiladi.

Ushbu modifikatsiyalangan usul bir o`lchovli optimallashti- rish masalalarini yechishning eng yaxshi usuli hisoblanadi .

Ushbu usulni quyidagi masalada qo’llanilishini ko’rib chiqamiz.

Misol uchun:

Quyidagi misollarni ko`rib chiqamiz:

1) nuqtani tanlab olish uchun funksiya grafigini qaraymiz. Grafikdan ko`rinib turibdiki, minimum nuqta x=1 nuqtaga yaqin. Shuning uchun deb tanlaymiz. Yuqoridagi formulalardan foydalanib berilgan aniqlikda yechimni topamiz. Hisoblashlarni osonlashtirish maqsadida exsel dasturidan foydalanamiz:

x
y

Nyuton Rapson usulining Avtomatlashgan Ko’rinishi

xk	Qiymatlari				?
x1	1	1	6	-5	>	-5,087962963	0,016666667
x2	0,833333333	0,083333333	5	-5,087962963	>	-5,088662037	0,000163785
x3	0,816666667	0,000833333	4,9	-5,088662037	>	-5,088662108	1,70515E-08

Grafikdan foydalanib nuqtani tanlaganimiz uchun ikkinchi qadamdayoq yechim topildi. nuqtani ixtiyoriy tanlaganimizda qadamlar soni ortib ketishi mumkin.Bir o’lchovli optimallashtirish masalalarini kerakli yechimga borish uchun ko’plab qadamlarni ko’rib chiqish kerak, shuning uchun bu ishimizni osonlashtirish maqsadida va ma’lum qonuniyat asosida bu masalarni Ms Excel dasturiga ko’chirib olamiz va natijaga ega bo’lamiz.

Masala:

2)Quyidagi funksiya grafigini qaraymiz
Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:
Grafikdan foydalanib x1=0,7 nuqtani tanlaymiz. nuqtani aniq yechimga ancha yaqin qilib tanlaganimiz uchun berilgan aniqlikda yechimni ikkita qadamda topildi.

Nyuton Rapson usulining Avtomatlashgan Ko’rinishi

xk	Qiymatlari				?
x1	0,7	-0,056571429	7,920816327	4,596774944	>	4,596573595	6,15052E-05
x2	0,707142121	0,000282726	8,000399854	4,596573595	>	4,59657359	1,53706E-09

Optimallashtirish masalalarini yechish uchun qo`llaniladigan Nyuton usulining quyidagi kamchiliklari mavjud:
1) Usul yetarlicha yaxshi boshlang`ich yaqinlashishni talab qiladi, aks holda qadamlar soni ortib ketadi, ya’ni tanlangan nuqta optimallashtirilayotgan f(x) funksiyaning minimum katta farq qilishi mumkin
2) Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning mavjudligi va analitik berilishini talab qiladi.
3) Nyuton usulida iteratsion usul talab qilinayotgan minimum nuqtasiga emas, maksimum yoki burilish nuqtalariga qarab ketib qolishidan saqlab turadigan hech qanday to`siq yo`q. Shuningdek, - - qadam juda katta bo`lishi mumkunliginiyam kamchilik sifatida ko`rsatish mumkin.
E’tiboringiz Uchun Rahmat