Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi nboshlanish ostrogradiski grin formulasining tadbiqlari

1-Natija. Agar bo`lib, bo`lsa, u holda
(29)
bo`ladi.
2-Natija. Agar bo`lib, bo`lsa, u holda
(30)
bo`ladi.
Eslatma. Agar 1-tur egri chiziqli integralda desak,

bo`ladi, ya`ni
(31)
yoyning uzunligini hisoblash formulasi.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash.
Tekislikda biror yopiq bo`lmagan sodda egri chiziq berilgan bo`lib, funksiya shu chiziqda aniqlangan bo`lsin. egri chiziqni nuqtalar yordamida n ta bo`lakka ajratamiz va nuqtalar olib, quyidagi yig`indini tuzamiz:

Bu yerda yoyning 0X o`qidagi proeksiyasi, ning uzunligi, deb belgilaymiz.
Ta`rif. Agar mavjud va chekli bo`lib, I ning qiymati ning bo`linish usuliga va nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa, u holda I soniga funksiyadan egri chiziq bo`yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral deb ataladi hamda u

kabi belgilanadi.
Shunday qilib,
(32)
ekan.

Xuddi shunga o`xshash larni ga emas, larga ko`paytirib,

(33)
ni hosil qilamiz.
2-tur egri chiziqli integral ta`rifidan quyidagi xossalar kelib chiqadi.
1) va .
2) Agar yoy 0X o`qiga (0Y o`qiga) perpendikular bo`lgan to`g`ri chiziq kesmasidan iborat bo`lsa, u holda

bo`ladi.
Endi faraz qilaylik, egri chiziqda 2 ta va funksiyalar berilgan bo`lib,
va
2-tur egri chiziqli integrallar mavjud bo`lsin. Ushbu

yig`indi 2-tur egri chiziqli integralning umumiy ko`rinishi deb ataladi va

kabi yoziladi. Demak,
(34)
Aytaylik, egri chiziq, sodda yopiq egri chiziq bo`lsin, ya`ni A va V nuqtalar ustma-ust tushsin. Bu yopiq chiziqni deb belgilaymiz. Bu yopiq chiziqda ikkita yo`nalish bo`ladi. Ularning birini musbat (soat strelkasiga qarama-qarshi yo`nalganini) ,ikkinchisini manfiy yo`nalish deb qabul qilamiz.
Faraz qilaylik, da funksiya berilgan bo`lsin. Bu chiziqda 2 ta nuqtalar olamiz. Natijada yopiq chiziq 2 ta va egri chiziqlarga ajraladi (5-chizma).
Agar integral mavjud bo`lsa, u funksiyaning yopiq chiziq bo`yicha 2-tur egri chiziqli integrali deb ataladi va kabi belgilanadi.



5-chizma.
bo`lgan umumiy xol ham xuddi shunga o`xshash ta`riflanadi.
Agar egri chiziq fazoviy chiziq bo`lib, funksiya shu chiziqda aniqlangan bo`lsa, u holda

va


lar ham yuqoridagidek aniqlanadi.
Endi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblashni o`rganamiz.
Faraz qilaylik, bo`lib,

bo`lsin, hamda t parametr dan ga qarab o`zgarganda nuqta dan ga qarab o`zgarsin.