Bli differensi

3-MAVZU.

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. BERNULLI VA OʻZGARMASLARNI VARIATSIYALASH USULLARI. BERNULLI VA KLERO TENGLAMALARI.

Ixtiyoriy birinchi tartibli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsa, birinchi navbatda ushbu differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratish mumkinmi-yoʻqligini tekshirish lozim. Agar differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa, u holda differensial tenglamani bir jinslilikka tekshirish lozim. Har ikkala holda ham differensial tenglamani yechish algoritmini bilamiz.


Agar birinchi tartibli differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa va tenglama bir jinsli ham boʻlmasa, u holda 90% holatlarda chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga duch kelamiz.

Chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy koʻrinishi

𝑎(𝑥) ∙ 𝑦^′(𝑥) + 𝑏(𝑥) ∙ 𝑦(𝑥) = 𝑐(𝑥)

standart koʻrinishi esa


𝑦^′(𝑥) + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) boʻladi.
Standart koʻrinishda berilgan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz:

1) Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli. 2) Bernulli usuli.

Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli algoritmi quyidagicha:

1. 𝑦^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 0 – oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama yechiladi ⟹ 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑐,𝑥) – umumiy yechim topiladi.
2. 𝒄 ni oʻrniga biror bir u(x) – x ning funksiyasini qoʻyamiz ⟹ 𝑐 = 𝑢(𝑥) ⟹ 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥),𝑥), usulning nomi ham shundan kelib chiqqan – oʻzgarmasni variatsiyalash (oʻzgartirish)
3. 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥),𝑥) ni 𝑦^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) differensial tenglamaga qoʻyamiz.