Boboqulov mirshodbekning matematik analiz

x₁ =1, x₂ =- , x₃ = x₄ =- x₅ =
hadlari a nuqtaning (- , ) atrofiga tegishli bo’lmaydi. Berilgan ketma-ketlikning x₀ hadidan, ya’ni 6-hadidan boshlab keyingi hadlari shu atrofga tegishli bo’ladi.
Agar a=0 nuqtaning (- , ) atrofi olinsa, unda x_n= ketma-ketlikning 11-hadidan keyingi barcha hadlari (- , ) atrofiga tegishli bo’ladi.
Agar a=0 nuqtaning (-2,2) atrofi olinsa, undan berilgan ketma-ketlikning barcha hadlari shu(-2,2) atrofga tegishli bo’ladi.
2.Ushbu x_n=(-1)ⁿ: -1,1, -1, 1,... ketma-ketlikning hamda a=1 nuqtaning (1- 1+ , ya’ni ( atrofi ni qaraymiz.
Bu ketma-ketlikning x₂=1 , x₄=1, x₆=1, ..., x_2k=1 hadlari, ya’ni juft nomerli barcha hadlari ( atrofiga tegishli bo’ladi. Berilgan ketma-ketlikning
x₁=-1 , x₃=-1, x₅=-1, ..., x_2k+1=-1, ...
hadlari , ya’ni toq nomerli barcha hadlari ( atrofiga tegishli bo’lmaydi.
Ravshanki, x_n=(-1)ⁿ ketma-ketlikning biror hadidan boshlab keyingi barcha hadlari a=1 nuqtaning ( atrofiga tegishli bo’lmaydi.
3.Ushbu x_n=n: 1 ,2, 3, ... , n, ... ketma-ketlikning hamda a=2 nuqtaning (2-4,2+4) ya’ni (-2,6) atrofiga qaraylik.
Bu ketma-ketlining
x₁ =1, x₂ =2 x₃ =3 x₄=4 x₅ = 5
hadlari (-2,6)ga tegishli bo’lib,6 –hadidan boshlab qolgan barcha hadlari shu atrofga tegishli emas. Agar a=0 nuqta olinsa va uning ( atrofiga qaralsa, unda x_n=n ketma-ketlikning bitta ham hadi shu atroga tegishli bo’lmasligini ko’ramiz.
Misol:{ } ketma-ketlikni limiti 1 ga tengligini ko’rsating.
Yechish:x_n= , bu ketma-ketlik limiti 1 ga tengligini ko’rsatish uchun da ham son mavjudki n>N bo’lganda

N=E( )
Demak, da olinganda ham soni topilar ekanki, n>N= bo’lganda keta-ketlikning barcha elementlari uchun| bo’lar ekan. Ta’rifga ko’ra =1 bo’ladi.
Faraz qilaylik, bo’lsin, u holda N=E( )=9 .Demal n>9 bo’lganda <0,1 bo’alr ekan. 9 sonidan kichik qiymatlar bu tengsizlik bajarilmaydi, ammo 10 dan boshlab bu tengsizlik bajariladi.

1. 
   n=10 bo’lsin
   

= =

2. 
   n=8 bo’lsin, u holda .
   

1-xossa.Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.

2-xossa. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik bo’ladi, aks holda ketma-ketlik chegaralanmagan bo’ladi.

3-xossa. {x_n} va {y_n} ketma ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, ular, mos ravishda, a va b limitlarga ega bo’lsa, u holda {x_n+ y_n}, {x_n y_n}, ,} ketma-ketliklar ham aqinlashuvchi bo’ladi va ushbu

)=a+b;
(b )
munosabatlari o’rinli bo’ladi.
4-xossa. {x_n} va {y_n} ketma ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, bo’lsin. Agar uchun x_{n ≤}y_n (x_{n ≥}y_n) bo’lsa, u holda a≤b(a≥b) bo’ladi.
5-xossa. {x_n} va {y_n} ketma ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, bo’lsin. Agar uchun x_{n ≤} z_n≤y_n tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda { z_n } ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi va bo’ladi.
Eslatma.Agar yaqinlashuvchi ketma-ketlikning hamma elementlari x_n>b qa’tiy tengsizlikni qanoatlantirsa,u holda, bu ketma-ketlikning limiti x uchun har doim x>b bo’lmaydi.
Masalan, x_n= bo’lsin.Bundan uchun x_n>0 bo’ladi, lekin bo’lib, u x>0 tengsizlikni qanoatlantirmaydi.
6-xossa.Agar yaqinlashuvchi {x_n} ketma-ketlikning hamma hadlari [a,b] segmentning ichida joylashsa, u holda uning limiti x ham [a,b] segmentning ichida joylashadi.
Eslatma. Ikki {x_n} va {y_n} ketma ketliklarning yig’indisi,ayirmasi, ko’paytmasi, nisbatidan iborat bo’lgan ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishidan {x_n} va {y_n} ketma ketliklarning har birining yaqinlashuvchi bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.Masalan; 1) ( – ) ketma-ketlik yaqinlashuvchi. Haqiqatan ham
=0 lekin ketma-ketliklar uzoqlashuvchi.
Misol. Ushbu
x_n=
ketma-ketlikning limiti 1 ga tengligini isbot qiling.
Yechilishi. Berilgan ketma-ketlikning =1+ ko’rinishida tasvirlashimiz mumkin. Bunda -cheksiz kichik keta-ketlik, ya’ni =0 deb belgilaymiz.
, n=( ⁿ=1+ + +... +
Bu tengsizlikdan uchun
n>1+ , n-1> 1>
n≥2 uchun n-1≥ , n≥ 0≤ ≤
tengsizlik o’rinli bo’ladi.Bundan bo’lgani uchun oxirgi tengsizlik 3-xossaga ko’ra, =0 ekanligi ya’ni ning cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi.
Demak ekan.


Foydalanilgan adabiyotlar

1. Matematikadan umumiy o’rta ta’lim maktablari uchun dastur. Toshkent, 2004-y.

2.Alixonov S.,, Matematika o’qitish metodikasi “. T.,,, O’qituvchi “, 2010-yil.
3.Колягин Ю.М ва бошкалар. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика., М.,, Просвещение “ 1988г.
4.Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.,, Практикум по элементарной математике “. М., 1995 г.
5.Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.,, Практикум по решению математических задач “. М., Просвешение 1984 г.