Bosh komponentalarni geometrik ko‘rinishda namoyon etish uchun oddiy uch o‘lchamli tekisliklar va fazo holatlarini ko‘rib chiqamiz

l₁ ^va
m₁ ^{komponentali vektor yangi} x^{ abstsissalar o‘qini aniqlovchi}

birlik vektor hisoblanadi.
^l₁  ^cos 

^{ }  ^{ }.
m sin 
(5.73)

 1   
^y ordinata o‘qining yangi yo‘nalishini aniqlovchi birlik vektor mos ravishda quyidagi ko‘rinishga ega:
^l₂  ^{ sin } 

^{ }  ^{ }.
m cos
(5.74)

 2   
Ko‘rib chiqilayotgan koeffitsientlar quyidagi xususiyatlarga ega:
l ²  m²  1, (5.75)
1 1
^{l 2  m2  1,} (5.76)
2 2
l₁l₂  m₁m₂  0, ^(5.77)

Nihoyat,
  ^l1

l₂
  ^l1
l₂
^m1  1.
m₂
^m1  1,
m₂
(5.78)

(5.79)

bo‘ladi, agar koordinatalar o‘qlarining burilishi oshirilgan bo‘lsa.
a  x; (a   )  y bo‘yicha amalga

Shunday qilib, o‘zgarmaydigan masshtabdagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar
o‘qlarining burilishini amalga oshirish mumkin. Shunday qilib, (5.69) kvadratik ^{shaklni kanonik shaklga keltirish uchun (5.69) dagi} x ^{va y miqdorlarni (5.71)} formulaga binoan almashtirish lozim. Ushbu kvadratik shakl quyidagi kanonik ko‘rinishga ega bo‘ladi (o‘rtacha koeffitsient nolga teng):
 x^2   y^2, (5.80)
1 2

ya’ni

Ax²  2Bxy  Cy²   x^2  
y^2.
(5.81)

1 2

(5.81) ni yechish uchun (5.71) ning koeffitsientlari va etarli, natijada
₁, ₂ ^{sonlarni tanlash}

^{Al1  Bm1  }₁^l1, ^{Al2  Bm2  }₂^l2,

^Bl

• 
  Cm
  

  m .
^Bl

• 
  Cm
  

  m .

 1 1 1 1  2 2 2 2
Demak, quyidagi tenglamalar sistemasini yechish kerak:

^{Al  Bm  l,}


^Bl  Cm  m.

(5.82)

(5.82) tenglamalar tizimida o‘ng tomondagilarni chap tomonga o‘tkazib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

^{( A  )l  Bm  0,}


^Bl  (C  )m  0.
Ushbu tenglamalar tizimining aniqlovchisini
(5.83)

A  
B
B
C  

 0,

(5.84)

quyidagicha ifodalash mumkin:

Bundan
²  ( A  C)  ( AC  B² )  0.
(5.85)

^1,2
 ¹ ( A  C) 


2
( A  C)²  4( AC  B² ) .

(5.86)

(5.84) tenglama kvadratik shaklning xarakteristikali tenglamasi, ushbu

^tenglamaning ₁
^va ₂
ildizlari esa ushbu kvadratik shaklning xarakteristikali

^{sonlari hisoblanadi. Kvadratik shaklni kanonik ko‘rinishga keltirgandan so‘ng} ₁

^va ₂
sonlar noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar hisoblanadi. Radikal ostidagi ifoda, quyidagiga teng bo‘lib,

( A  C)²  4B²  0. (5.87)

nomanfiydir, u holda (5.84) tenglama faqat haqiqiy ildizlarga ega bo‘ladi.

( A  C)²  4B²  0.
bo‘lgan holatni alohida ko‘rib chiqamiz.
(5.88)

Shu bilan shart bo‘yicha
₁  ₂ ^{. (5.83) ga}
  ₁
ni qo‘yamiz. Tenglamalar

^{tizimi nol bo‘lmagan} l ^va m ^{yechimga ega bo‘ladi.}
Olingan vektor kvadratik shaklning asosiy yo‘naltiruvchisiga ega bo‘ladi, u

^{esa xarakteristikali son} ₁
^{ga mos keladi.} ₁
soniga mos keluvchi mazkur asosiy

^l1 

yo‘nalishga
^{ } vektor ham yo‘naltirilgan, ya’ni
m

bu erda
 1 

  0.

^{l1  l,}


_m₁  m.
, (5.89)

Agar bo‘yicha
 1 deb qabul qilsak, u holda (5.89) tenglamalar tizimi
l ²  m²  1.

1 1

^l1 

^{ } vektorasosiy yo‘nalishning birlik vektori hisoblanadi.
m
 1 

^l1 

Tabiiyki,
^{ } vektor kvadrtik shaklning boshqa asosiy yo‘nalishini aniqlab
m

 1 
beradi.

(5.77) ifodaga binoan, agar o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi.
₁  ₂
bo‘lsa, asosiy yo‘nalishlar vektorlari

Boshqa holat quyidagiga mos keladi, ya’ni
( A  C)²  4B²  0.
Mazkur holatda
^{1  2  ,}

(5.90)


^A  C,


^B  0.
, (5.91)

^{(5.86) ifoddan}   A  C ^{kelib chiqadi.
(5.85) ifodaga}  ^{ning olingan qiymatini qo‘yamiz va tenglamalar tizimining} barcha elementlari nolga aylanishiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, (5.83) ^{tenglamalar tizimi ayniyatlardan tashkil topgan bo‘ladi. Unga} l ^va m ^{ning har} qanday sonlari to‘g‘ri keladi.

Natijada quyidagicha xulosa qilish mumkin, agar
  ₁
bo‘lsa, u holda

kvadratik shakl uchun har qanday yo‘nalish asosiy hisoblanadi. Koordinatalar o‘qlarini har qanday burchakka burganda shakl o‘zining quyidagi kanonik ko‘rinishini saqlab qoladi:
Ax²  Ay² .
Kvadratik shaklni har qanday to‘g‘ri burchakli koordinatalarga har qanday o‘zgartirilganda uning invariantlari o‘zgarmaydi:

^{A  C  A  C,}


^AC  B²  A^C^  B^2.
Viet teoremasiga binoan
, (5.92)

AC  B²    ., (5.93)
1 2

1. 
   Agar
   

₁  0; ₂  0 ^{lar bir xil ishoraga ega bo‘lsalar, u holda kvadratik shakl}

elliptik deb ataladi:
AC  B²  0.
(5.94)

2. 
   Agar
   

₁  0; ₂  0
bo‘lsa, ammo ularning ishoralari turlicha bo‘lsa, u

holda kvadratik shakl giperbola deb ataladi:
AC  B²  0.
(5.95)

3. 
   Agar
   

 , 
lardan birorta soni nolga teng, ya’ni
AC  B²  0 bo‘lsa, u holda

1 2
kvadratik shakl parabola deb ataladi.
Bosh komponentalar usulida xarakteristikali sonlar o‘zining jismoniy mazmuniga ko‘ra nolga teng bo‘lishi va manfiy bo‘lishi mumkin emas. Demak,

₁  0 ^va ataladi.
₂  0 ^{. Ushbu holatda kvadratik shakl musbat aniqlangan elliptik shakl deb}

5.2-rasmda kvadratik shaklni kanonik ko‘rinishga keltirish uchun qat'iy koordinatalar tizimidan ellips markazida nol nuqtaga ega va koordinatalar o‘qlari

^{burilishi ko‘rsatilgan. Kanonik ko‘rinishga keltirilgandan so‘ng} ₁
ga mos keluvchi

abstsissalar o‘qi ellipsning bitta asosiy o‘qi bo‘yicha (asosiy yo‘nalishga) yo‘nalgan, boshqa asosiy yo‘nalishga mos keluvchi koordinatalar o‘qi esa unga ellipsning
boshqa asosiy o‘qi bo‘ylab perpendikulyar yo‘nalgan. Ellipsning asosiy 0 y o‘qi

^{bo‘ylab birinchi bosh komponenta yo‘nalgan,} 0x
komponenta yo‘nalgan.
o‘qi bo‘ylab esa ikkinchi bosh

x^
x

5.2-rasm. (x,0,y) koordinatalar tizimini ellipsning markaziga

va α burchakka burish
(x,0, y)

o‘tkazish

5.2-rasmda birinchi
( y^) asosiy yo‘nalish
₁ ^{bilan aniqlanadi, ikkinchi}
(x^)

^{asosiy yo‘nalish esa} ₂
xarakteristikali son bilan aniqlanadi.

5.3.1. Uch o‘lchamli va cheklangan fazoning bosh komponentlari

Ma’lum bo‘lgan ayrim ta’riflarni kiritamiz.
^{Vektorni songa ko‘paytirish va qo‘shish operatsiyalari aniqlangan barcha} n ^{- o‘lchamli vektorlar to‘plami -} n ^{-o‘lchamli vektor fazosi deb ataladi.
Uch o‘lchamli vektor fazosini} n ^{-o‘lchamli vektor fazosining (} n  3 ^{bo‘lganda) xususiy holi sifatida namoyon etish mumkin. Uch o‘lchamli va} n ^- o‘lchamli vektor fazolarida vektorlarning xususiyatlari va ta’riflari bir-biriga mos keladi.
n ^{-o‘lchamli vektor fazosida} n ^{ta vektorlardan ko‘proq elementlarga ega} bo‘lgan har qanday tizim chiziqli bog‘langan.
Tizimning chiziqli bog‘liq bo‘lmagan vektorlarining eng katta soni uning ^{rangi deb ataladi.} n ^{-o‘lchamli fazoning rangi uning o‘lchami bilan mos keladi.} Vektorlar to‘plamining bazisi deb, chiziqli bog‘liq bo‘lmagan vektorlar to‘plamiga ^{aytiladi va ushbu vektorlar soni to‘plamlar rangiga teng.} n ^{-o‘lchamli fazoda} bazislarning soni cheksiz bo‘lishi mumkin. Bazislardan bittasi birlik bazis bo‘ladi (birlik vektorlardan tashkil topgan bo‘ladi).
Berilgan n -o‘lchamli fazoda har qanday vektor bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. Vektorningbazis vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanishi vektorning bazis bo‘yicha ajratish deb aytiladi. Chiziqli kombinatsiyaning koeffitsientlari berilgan bazisda vektorning koordinatalari deyiladi. Berilgan bazis bo‘yicha vektorning ajratilishi yagona bo‘ladi.
Bosh komponentalar usulida ko‘pincha foydalaniladigan holatni ko‘rib chiqamiz (5.3-rasm).
x vektorni ortogonal ikki o‘lchamli bazis vektorlari bo‘yicha ajratamiz:

x  a₁l₁  a₂l₂ ,
(5.96)