Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi toinondan, ixtiyoriy k {0.} uchun A

Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi toinondan, ixtiyoriy k {0 ,1,2,...} uchun A_k C [—2, 2]. Bundan

va A_k to'plamlar o'zaro kesishmaydi. 0 ‘lchovning ơ — additivlik xossasiga asosan

Bu yerdan (A) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qaxshilik A to'plamning o'lchovsiz ekanligini isbotlaydi.
6.3. 4.7-misolda keitirilgan Kantor to‘plami K ning Lebeg o`chovi nolga teng ekanligini isbotlang.
Isbot. Kantor to‘plami K ning o‘lchovi nolga tengligi tenglikdan kelib chiqadi. Barcha chiqarib tashlangan intervallar uzunliklari yig‘indisi

Demak,
6.4. Hozir biz qurilishi Kantor to‘plami K bilan bog'liq bo'lgan Kantorning zinapoya funksiyasini (6.7-chizma) keltiramiz. Kantoming zinapoya funksiyasini 𝔎 bilan belgilaymiz va uni R da quyidagicha aniqlaymiz. 𝔎(x) = 0, x (— ,0] va = 1, . Endi [0. 1]\A da quyidagicha aniqlaymiz. K₁ = to'plam va uningchegarasida (6.7-chizinagaqarang)

to`plam va uning chegaralarida


6.7-chizma
Endi

to`plam va uning chegaralarida

Xuddi shunday K_n= to`plamning k-qo`shni intervali va uning chegarasida

Shunday qilib, K_n to`plamlar va ularning chegaralarida 𝔎 funksiya aniqlandi. Bu to`plam [0, 1] kesmada zich. Endi x₀ K soni funksiya aniqlanmagan biror nuqta bo‘lsin, u holda

deymiz. Hosil qilingan funksiya Kanyorning zinapoya funksiyast deyiladi. Kantorning zinapoya funksiyasi R da uzluksiz, monoton kamaymaydigan funksiya bo'Iadi. Xususan . (0) = 0, 𝔎 (1) = 1.
6.5. F(x) = 2x + 1 funksiya yordamida qurilgan — Lebeg-Stiltes o`chovi absolyut uzluksiz o'lchov bo‘ladi. Bu o'lchov bo'yicha A = (1, 5], to‘plamning o‘lchovini toping.
Yechish. Ta'rifga ko‘ra

6.6. F(x) = [x] funksiya yordamida qurilgan — Lebeg-Stiltes o`chovi diskret o`chov bo`ladi. Isbotlang.
Isbot. Chunki F(x) = [x] funksiya monoton kamaymaydigan ongdan uzluksiz funksiya bo`lib, uning qiymatlar to`plami butun sonlar to`plami Z dan iborat Butun sonlar to`plami esa sanoqli to`plamdir.
6.7. 6.6-misolda keltirilgan — Lebeg-Stiltes o`chov bo'yicha A = (1. 5]U{7; 8} to'plamning o`chovini toping.
Yechish. Hosil qiiingan — Lebeg-Stiltes o`chovi bo'yicha ixtiyoriy n Z nuqtaning o`chovi birga teng. Chunki {n} = [n. n] tenglik o'rinli bolgani uchun, ta'rifga ko‘ra

Demak, Endi B+(1, 5] to`plamning o`lchovini topamiz.

Berilgan A to'plam o‘zaro kesishmaydigan B va {7; 8} to'plamlarning birlashmasidan iborat. 0 ‘lchovning additivlik xossasiga ko'ra

6.8. F{x) = 𝔎(x), bu yerda 𝔎{x) Kantorning zinapoya funksiyasi. F{x) = 𝔎(x) yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o'lchovi singulyar o'lchov ekanligini isbotlang.
Isbot. — Lebeg-Stiltes o'lchovi bo'yicha ixtiyoriy a R nuqtaning o‘lchovi nolga teng. Chunki {a} = [a, a] tenglik o'rinli bo'lgani uchnn, ta’rifga ko‘ra hamda {x) ning uzluksizligidan ([a, a]) = 𝔎(a) — 𝔎(a — 0) = 0. Bundan tashqari A = (— , 0)U (1, ) to'plamning o'lchovi ham nolga teng. Haqiqatan ham, o'lchovning additivlik xossasiga ko‘ra

6.3-misolda ko'rsatildiki, (K) = 0. Agar (R\K) = 0 ekanligi ko‘rsatilsa. o‘lchovning singulyar o'lchov ekanligi kelib chiqadi. Endi (R \K ) ni hisoblayrniz. 0 ‘lchovning additivlik xossasi va (6.21) tenglikka ko‘ra

Dastlab, K_n, n N to'plamlar uchun (K_n) = 0 ekanligini ko'rsatamiz.

Biz bu yerda 𝔎 funksiyaning uzluksizligidan foydalandik. Xuddi shunday

tenglik orinli. (K_n) = 0 , n 3 tengliklar ham shunga o'xshash ko‘rsatiladi. Endi Lebeg-Stiltes o'lchovi ( ning ơ — additivlik xossasidan foydalansak

ekanligini olamiz. Shunday qilib hosil qilingan Lebeg-Stiltes o`lchovi singulyar o`lchov ekan.
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar
1. — 6.8-misolda keltirilgan Lebeg-Stiltes o'lchovi bo‘lsin. (K ) = 1kanligini isbotlang. Bu yerda K — Kantor to ‘plami.
2. - 6.8-misolda ketirilgan Lebeg-Stiltes o'lchovi, A esa K ni saqbvcM ixtiyoriy to‘plam bo'lsin. (A) = 1 tenglikni isbotlang.
3. Elementar to'plamlar ststemasida aniqlangan m' o‘lchovning additivlik xossasini isbotlang.
4. 6.4-teoremani o‘lchov uchun isbotlang. Bu xossa Lebeg o ‘lchovining yarim additiviik xossasi deyiladi.
5. F(x) = x funksiya yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o`chovi absolyut uzluksiz o‘lchov bo‘ladirni?
6. F(x) = 2[x] + 1 funksiya yordamida quri;lgan Lebeg-Stiltes o`lchovi diskret o ‘lchov bo‘ladirni?
7. Singulyar Lebeg-Stiltes o ‘lchoviga misol keltirng.
8. Lebeg ma'nosida o‘lchovli va [0, 1] kesmaga qarashli to'plamlar sistemasi ơ — algebra tashkil qiladimi? Javobni asoslang.
9. Tekislikdagi A = {(x,y) : 0 x 1,0 y x} to‘plam elementar to‘plam bo‘ladimi? Uning o'lchovini toping