Bul maqalada biz algebraliq strukturanı qabıl etiwshi Banax keńislikleriniń geometriyalıq xarakteristikası máselelerin talqılaw etemiz

Bul maqalada biz algebraliq strukturanı qabıl etiwshi Banax keńislikleriniń geometriyalıq xarakteristikası máselelerin talqılaw etemiz.
Tártiplengen Banax keńislikleri ushın Alfsen-Schulz [3] hám Alfsen-Schulz-Gans-Olsen [1] dıń belgili nátiyjeleri uyqas túrde mámleket keńisliksiniń, Iordaniya operatorı algebrasi hám c* -algebrasiniń geometriyalıq xarakteristikaların beredi. Bul xarakteristikalarda ushraytuǵın birpara ayrıqshalıqlar fizikalıq sistemalardıń kosmik jaǵdayı ushın tábiyiy shamalar bolıp tabıladı. Bul biz kórip shıǵıp atırǵan mashqalaǵa qosımsha qızıǵıwshılıq oyatadı.Kvant mexanikası ushın eki málim matematikalıq modeldi kórip shıǵamız (qarań [6]). Hilbert keńislik modelinde jaǵdaylar birlik sheńberi menen anıqlanǵan ajratılatuǵın kompleks Gilbert keńislikgi birlik vektorları, gúzetiletuǵınlar bolsa -de óz-ózinen qosılatuǵın operatorlar bolıp tabıladı. Gúzetiletuǵın zattıń spektral bólekleniwi tómendegi formuladan paydalanǵan halda jaǵday daǵı bólistiriw hám ortasha bahanı beredi:
; (01)
. (0.2)
Algebraik modelde gúzetiletuǵınlar kompleksi jıyındı hám kvadrat dep atalatuǵın eki algebraik struktura menen úskenelestirilgen dep shama etiledi. Bul Iordaniya algebra dúzilisine alıp keledi, ol jaǵdayda shtatlar endi birlik normaları menen unamlı funktsional bolıp tabıladı. Gáp sonda, Jordan-von Neumann-Wigner klassifikaciyası teoremasi endi sheksiz ólshemlerge keńeytirildi [8] hám taǵı bul jantasıwǵa qızıǵıwshılıq oyatdı.Bul modellerde tábiyiy bolmaǵan algebraik shamalardan shaǵılısıw ushın biz bul erda kvant mexanikası ushın geometriyalıq modeldi usınıs etemiz. Biziń baslanǵısh noqatmız fizikalıq sistemanıń jaǵdayları qanday da normalangan keńisliktiń birlik vektorları ekenligi haqqındaǵı shama boladı. Biz birlik sharınıń geometriyasiga júz dúzilisi hám málim simmetriyalardı óz ishine alǵan birpara tábiyiy hákisiomalarni qóyamız.
Baqlaw múmkin bolǵanlar óz-ara keńisliktiń elementleri boladı, sol sebepli elementler ushın spektral teorema kerek. Bul " spektral proyeksiya" dıń analogini anıqlaw hám ortogonallik túsinigin tuwrı qáliplestiriw ushın zárúr bolıp tabıladı.
Tártiplengen Banax keńislikleri ushın tolıq teoriya (Alfsen-Schulz [2]) ámeldegi bolıp, odan tiyisli qosımsha shamalar tiykarında Iordaniya algebrasi strukturasın qurıw ushın paydalanıw múmkin.Ga ekilik ónim strukturasın alıw ushın ne ushın tártipli struktura kerekligini kórip shıǵamız. Ápiwayılıq ushın biz onı waqtınshalıq sheklengen ólshewli dep esaplaymiz.
Ulıwma alǵanda, Banach keńisliksidagi hár qanday qabarıq kishi jıynaqtıń affin geometriyalıq dúzilisi ushın qurılıs blokları ekstremal noqatlar yamasa ulıwma alǵanda, ekstremal tómengi jıynaqlar yamasa júzler bolıp tabıladı.
Daslep Effors [5] hám Prosser [9] tárepinen kórsetilgen sıyaqlı, fon Neyman algebrasidagi normal jaǵday keńisliksiniń normaǵa jabıq júzleri jay bolǵan proyektorlarga (óz-ózinen qosılǵan idempotentlar) Birma -bir suwretlengen. dıń algebraik dúzilisi ushın bloklar. Bunnan tısqarı, júzlerdiń ortogonalligi (geometriyalıq tárzde anıqlanǵan) proektsiyalarning ortogonalligiga sáykes keledi (nol ónim bar ekenligi menen belgilenedi).
Tiykarlanıp, elementtiń spektral bólekleniwi tómendegi formaǵa ıyelewi kerek:, bul erda skaler hám "-kúshli" elementlerdiń ortogonal (tiyisli mániste) shańaraǵı, yaǵnıy.-jumıs,. "-kúshli" hár túrlı kishi jıynaqlar bolıwı múmkin, olar Birma -bir boslıq topınıń qabarıq kishi kompleksiniń normaǵa dús bolǵan júzleri kompleksine sáykes keledi.
Hár qanday algebraik struktura hár bir komponentte anıq sızıqlı bolıwı kerek, dep shama qılıw tábiyiy.Ga ekilik ónim strukturasın alıw ushın ne ushın tártipli struktura kerekligini kórip shıǵamız. Ápiwayılıq ushın biz onı waqtınshalıq sheklengen ólshewli dep esaplaymiz.
Ulıwma alǵanda, Banach keńisliksidagi hár qanday qabarıq kishi jıynaqtıń affin geometriyalıq dúzilisi ushın qurılıs blokları ekstremal noqatlar yamasa ulıwma alǵanda, ekstremal tómengi jıynaqlar yamasa júzler bolıp tabıladı.
Daslep Effors [5] hám Prosser [9] tárepinen kórsetilgen sıyaqlı, fon Neyman algebrasidagi normal jaǵday keńisliksiniń normaǵa jabıq júzleri jay bolǵan proyektorlarga (óz-ózinen qosılǵan idempotentlar) Birma -bir suwretlengen. dıń algebraik dúzilisi ushın bloklar. Bunnan tısqarı, júzlerdiń ortogonalligi (geometriyalıq tárzde anıqlanǵan) proektsiyalarning ortogonalligiga sáykes keledi (nol ónim bar ekenligi menen belgilenedi).
Tiykarlanıp, elementtiń spektral bólekleniwi tómendegi formaǵa ıyelewi kerek:, bul erda skaler hám "-kúshli" elementlerdiń ortogonal (tiyisli mániste) shańaraǵı, yaǵnıy.-jumıs,. "-kúshli" hár túrlı kishi jıynaqlar bolıwı múmkin, olar Birma -bir boslıq topınıń qabarıq kishi kompleksiniń normaǵa dús bolǵan júzleri kompleksine sáykes keledi.
Hár qanday algebraik struktura hár bir komponentte anıq sızıqlı bolıwı kerek, dep shama qılıw tábiyiy.1-bólimde biz elementler hám júzler ushın ortogonallik túsinigin islep shıǵamız hám ulıwmalastırılǵan tripotentlar (spektral teoremadagi qurılıs blokları ) hám normaǵa dús bolǵan júzler ortasında Birma -bir muwapıqlıqtı ornatamız.
2-bólimde biz keńislik elementleriniń ortogonalligini anıqlaymız hám elementlerdiń ortogonalligi hám proyektiv birlikleri ortasındaǵı baylanısıw qásiyetlerin kórip shıǵamız. Tiykarǵı nátiyje (1-teorema) simmetriya hákisiomasini qánaatlantiradigan refleksiv keńislikti, qálegen elementtiń spektral keńeyiwiniń bar ekenligi hám ayriqshalıǵın beredi.
Bul maqala pútkilley óz-ózinen bar. Barlıq dáliller tek elementar funktsional analizden paydalanadı, tek motivatsion maqsetler ushın kiritilgen birpara oy-pikirler bunnan tısqarı.Boslıqtıń kishi kompleksi ushın biz anıqlaymız

jáne onı ortogonal tolıqlawısh dep ataymız. Kórinip turıptı, olda, hám. Sol sebepli. Sonday etip, eger hám tek eger. Bunday halda, biz bunı aytamiz hám ortogonalmiz hám jazamız.

Biz sonı aytymizki, bul haqıyqıy skalyar kóbeytiwge salıstırǵanda ózgermeytuǵın bolıp tabıladı, lekin biz bunı ulıwma kórsetemiz hám qosımsha yamasa quramalı sızıqlı emes.
Eger boslıq bolsa, ekenin aytıw kerek, biziń ortogonallik túsinikmiz haqıyqıy funkciyalardıń tayanshlarınıń kesilispesligiga tolıq sáykes keledi hám.Tap sonday nátiyje, eger fon Neyman algebrasining aldınǵı qosıw keńisliksiniń óz-ózinen qosılatuǵın bólegi bolsa. Bul nátiyjeni barlıq (quramalı zárúrli) normal funkciyalar ushın qutbli keńeyiw arqalı keńeytiw ańsat. Tómendegi túsindirme tek motivatsion maqsetler ushın mólsherlengen hám endigiden isletilmaydi.
Túsindirme 1. 2.-úshlıq boyınsha normal funksional bolsın hám bolsın (qarang [7]). Ol halda hám tek ortogonal tripotentlar bolsa, qutbli bólekleniwge sáykes keletuǵın tripotent qay jerde jaylasqan [7, 2-usınıs].
Tastıyıq. Biz shama etiwimiz múmkin. Aldın shama menen oylayıq hám ortogonal tripopotentlar. Keyin birlik normasına iye hám sol sebepli. Kerisinshe, eger bolsa, biz belgin kiritemiz. Keyin, sonday eken,. Bunnan kelip shıǵadıki, hám sonday eken,[7, 1-usınıs] ga kóre, hám elementlerin -algebraning normal jaǵdayı dep esaplaw múmkin. Biz ele da teńlikke egamiz, sol sebepli -algebralarda Iordaniya bólekleniwi menen elementler hám -algebrada ortogonal, sol sebepli ortogonal.
Keling,-triple dıń aldınǵı bos jayı bolǵan ız norması menen bolsın. Meyli. Keyin hám, yaǵnıy..Endi kosmosda birlik sharınıń júzleriniń ortogonalligini kórip shıǵamız.
Qabarıq jıynaq bolsın. Jıynaqtıń júzi bos bolmaǵan kishi jıynaq bolıp, tómendegi ózgeshelikke iye: Eger hám geyparaları ushın teńlikti qánaatlantirsa, ol halda. Biz ushın zárúrli mısal : kosmostıń birlik topı hám geyparaları ushın birlik norması. Biz bos jıynaq yamasa júz (norma ashılǵan júz dep ataladı ) bolǵan ni retinde belgileymiz.Endi biz 1. 1-usınıstan tómendegi juwmaqtı alamız.
Juwmaq 1. 3. Let and be norm fosh júzler hám. Keyin.
Birlik vektorları hám ga kiritilsin. Keyin birlik sharınıń norma -ortogonal ashıq júzleri ámeldegi bolıp, olar ushın.
Tastıyıq. Eger, sonday eken, sonday eken. Tap sonday, eger, keyin. Sol sebepli, 1. 1-usınıs daǵı ózgeshelikten biz.
Bul tezlik penen ayrıqshalıqlardan hám 1. 1-usınıstan kelip shıǵadı.Endi biz engizilgen túsiniklerdi kórsetetuǵın birlik toplarınıń birpara mısalların kórip shıǵamız.
1-mısal. Qos konusning tiykarları sheńber bolsın jáne onıń uchi bolsın (1-súwret). Qabarıq hám simmetrik bolmaǵan bolǵanlıǵı sebepli, ol qanday da normaǵa salıstırǵanda birlik shar bolıp tabıladı. Keyin sheńber tiykar, sonday eken, sızıqlı boslıq.Lemma 2. 4. den ge shekem sızıqlı izometriya bolsın. Keyin
hám
birlik topınıń hár bir normallastırılgan júzi ushın.
Tastıyıq. Az sızıqtı baslasin. Keyin, sonday eken,. Teris, eger, keyin, bular. yamasa. Sonday etip.
Endi bunı kórsetemiz. Eger, keyin,.
Biz bunı qashannan berli kórsetdik hám. Lemma Túsindirme 2. 3 ten kelip shıǵadı.