Butun va kasr ratsional tenglamalar Ushbu darsda biz kabi tushunchalarni o'rganamiz

§ 3 Kasr ratsional tenglamani yechish
Kasr ratsional tenglamaning yechimini ko'rib chiqing.
Misol uchun:

1. Tenglamaning ikkala tomonini unga kiritilgan ratsional kasrlarning maxrajlarining eng kichik umumiy maxrajiga ko‘paytiring.
x + 7 va x - 1 maxrajlarining umumiy maxrajini toping.
Bu ularning mahsulotiga (x + 7) (x - 1) teng.
2. Har bir ratsional kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytma topilsin.
Buning uchun umumiy maxrajni (x + 7) (x - 1) har bir maxrajga ajratamiz. Kasrlar uchun qo'shimcha multiplikator
teng x - 1,
kasr uchun qo'shimcha multiplikator
x+7 ga teng.
3. Kasrlarning sanoqlarini ularga mos keladigan qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring.
Biz (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) tenglamasini olamiz, bu tenglamaga ekvivalentdir.
4.Chap va o'ng binomialni binomga ko'paytiring va quyidagi tenglamani oling
5. O'ng qismini chapga o'tkazamiz, qarama-qarshi tomonga o'tishda har bir atamaning belgisini o'zgartiramiz:
6. Ko‘phadning o‘xshash a’zolarini keltiramiz:

7. Ikkala qismni -1 ga bo'lishingiz mumkin. Oling kvadrat tenglama:

8. Uni hal qilib, biz ildizlarni topamiz

Chunki tenglamada
chap va o'ng qismlar kasr ifodalari bo'lib, kasrli ifodalarda o'zgaruvchilarning ba'zi qiymatlari uchun maxraj yo'qolishi mumkin, keyin x1 va x2 topilganda umumiy maxraj yo'qolmasligini tekshirish kerak.
x = -27 da umumiy maxraj (x + 7)(x - 1) yo'qolmaydi, x = -1 da umumiy maxraj ham nolga teng emas.
Demak, -27 va -1 ikkala ildiz tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Kasrli ratsional tenglamani yechishda darhol maydonni ko'rsatish yaxshiroqdir ruxsat etilgan qiymatlar. Umumiy maxraj nolga tushadigan qiymatlarni olib tashlang.
Kasrli ratsional tenglamani yechishning yana bir misolini ko'rib chiqing.
Masalan, tenglamani yechamiz

Tenglamaning o'ng tomonidagi kasrning maxrajini omillarga ajratamiz

Biz tenglamani olamiz

(x - 5), x, x (x - 5) maxrajlari uchun umumiy maxrajni toping.
Bu x (x - 5) ifodasi bo'ladi.
endi tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari diapazonini topamiz
Buning uchun umumiy maxrajni x (x - 5) \u003d 0 ga tenglashtiramiz.
Biz tenglamani olamiz, uni yechishda x \u003d 0 yoki x \u003d 5 da umumiy maxraj yo'qolishini topamiz.
Demak, x = 0 yoki x = 5 tenglamamizning ildizi bo'la olmaydi.
Endi siz qo'shimcha multiplikatorlarni topishingiz mumkin.
Ratsional kasrlar uchun qo'shimcha ko'paytuvchi
kasrlar uchun qo'shimcha multiplikator
bo'ladi (x - 5),
va kasrning qo'shimcha omili
Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiramiz.
Biz x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) tenglamani olamiz.
Chap va o'ngdagi qavslarni ochamiz, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Ko‘chiriladigan shartlar belgisini o‘zgartirib, shartlarni o‘ngdan chapga siljiymiz:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Va shunga o'xshash shartlarni keltirgandan so'ng, biz x2 - 3x - 10 \u003d 0 kvadrat tenglamani olamiz. Uni yechib, x1 \u003d -2 ildizlarini topamiz; x2 = 5.
Lekin biz allaqachon bilib oldikki, x = 5 da umumiy maxraj x(x - 5) yo'qoladi. Shuning uchun tenglamamizning ildizi
x = -2 bo'ladi.