Cetn´ı elektrostatika pˇredn´aˇska pˇredmˇetu V´ypoˇcetn´ı elektrotechnika

V´

ypoˇ

cetn´ı elektrostatika

1. pˇredn´aˇska pˇredmˇetu V´ypoˇcetn´ı elektrotechnika

Dalibor Luk´

aˇ

s

Katedra aplikovan´e matematiky,

VˇSB–Technick´a univerzita Ostrava

email: [e-mail]

http://lukas.am.vsb.cz/Teaching/VE/

Elektrostatika

popisuje ˇcasovˇe nemˇenn´a eletrick´a (silov´a) pole nabit´ych tˇeles.

Coulomb˚

uv z´

akon

vyjadˇruje s´ıly mezi n´aboji.

q

1

q

2

F

1

F

2

q

1

q

2

F

1

F

2

F

1

=

q

1

q

2

4πε

0

|x

2

− x

1

|

2

· e

12

= −

F

2

,

q

1

, q

2

∈ R . . . elektrick´e n´aboje (v Coulombech),

x

1

, x

2

∈ R

3

. . . polohy n´aboj˚

u,

e

12

:= (

x

2

− x

1

)/|

x

2

− x

1

|,

ε

0

≈ 8.854 · 10

−12

. . . permitivita vakua

Elektrostatika

Intenzita elektrick´

eho pole

je s´ıla elektrick´eho pole na jednotkov´y n´aboj.

pole kladn´eho n´aboje

pole dvou nesouhlasn´ych n´aboj˚

u

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

+

0

0.5

1

1.5

2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

+

−

Plat´ı

princip superpozice

, napˇr.:

E(x) =

1

4πε

0

Ω

ρ(y)(x − y)

|x − y|

3

dV (y),

kde ρ(

y) je objemov´a hustota n´aboje v Ω ⊂ R

3

, tj. supp(ρ) ⊂ Ω.

Elektrostatika

Gauss˚

uv z´

akon (ve vakuu)

Tok elektrick´eho pole z povrchu objemov´eho elementu je urˇcen n´aboji v tomto objemu.

Gauss˚

uv z´akon je ekvivalentn´ı s Coulombov´ym z´akonem.

∂Ω

E(x) · n(x) dS(x) =

1

ε

0

Ω

ρ(x) dV (x) pro Ω ⊂ R

3

,

kde

n ∈ R

3

je vnˇejˇs´ı jednotkov´a norm´ala k ∂Ω.

Gaussova vˇeta

:

∂Ω

E(x) · n(x) dS(x) =

Ω

div(

E(x)) dV (x) d´av´a

div(

E(x)) =

ρ(x)

ε

0

pro

x ∈ R

3

.

Elektrostatika

Pˇr´ıklad 1: Pole dlouh´e nabit´e tyˇce

∂Ω

E(x) · n(x) dS(x) =

Ω

ρ(x)

ε

0

dV (x)

E(r)2πrl =

ρSl

ε

0

E(r) =

ρS

2πrε

0

E

E

E

E

E

E

E

l

Ω

∂Ω

S

r

ρ

Pˇr´ıklad 2: Pole nabit´e desky

∂Ω

E

+

(

x) · n(x) dS(x) =

Σ

σ(x)

ε

0

dS(x)

2E

+

|Σ| =

σ|Σ|

ε

0

E

+

=

σ

2ε

0

Pˇr´ıklad 3: Pole deskov´eho kondenz´atoru

E =

2E

+

=

σ

ε

0

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

σ

−σ

Ω, Σ

Elektrostatika

Pˇr´ıklad 4: Pole dvou vnoˇren´ych deskov´ych kondenz´ator˚

u s opaˇcnou orientac´ı

E

′

= E − E

p

=

σ−σ

p

ε

0

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

E

′

σ

−σ

σ

p

−σ

p

Pˇr´ıklad modeluje chov´an´ı polarizovan´ych n´aboj˚

u (vnitˇrn´ı kondenz´ator) v dielektriku,

kter´e je vloˇzeno do elektrostatick´eho pole (vnˇejˇs´ı kondenz´ator).

Elektrostatika

Gauss˚

uv z´

akon v dielektriku

V dielektrick´ych materi´alech se po vloˇzen´ı do elektrostatick´eho pole vytvoˇr´ı vrstvy

polarizovan´ych n´aboj˚

u orientovan´ych v souladu s vnˇejˇs´ım polem. Ty se chovaj´ı jako

vnoˇren´e kondenz´atory, viz pˇr´ıklad 4, tedy zeslabuj´ı vnˇejˇs´ı pole.

Oznaˇcme ρ

pol

(

x) = div(−P(x)) hustotu polarizovan´eho n´aboje v dielektriku, kde P

je elektrostatick´a polarizace.

div(

E(x)) =

ρ(x) + ρ

pol

(

x)

ε

0

div(ε

r

E(x)) := div E(x) +

P(x)

ε

0

=

ρ(x)

ε

0

,

kde ε

r

≥ 1 je relativn´ı permitivita. Oznaˇcme D(x) := ε

0

ε

r

(

x)E(x) el. indukci:

div(

D(x)) = ρ(x) pro x ∈ R

3

.

Elektrostatika

Elektrick´

y potenci´

al (napˇ

et´ı)

Elektrostatick´e pole je potenci´aln´ı:

E(x) = −∇u(x),

kde u je elektrick´y potenci´al (napˇet´ı). Tzn. pr´ace, kterou vykon´a elektrostatick´e pole

p˚

usob´ıc´ı na jednotkov´y n´aboj, nez´avis´ı na dr´aze:

a

b

c

W

a→b

= −

a→b

E(x) dl(x) =

a→b

∇u(x) dl(x) = u(b) − u(

= W

a→c

+ W

c→b

a tedy:

−

k

E(x) dl(x) = 0

pro jakoukoliv uzavˇrenou kˇrivku k.

Stokesova vˇeta

:

∂S

E(x) dl(x) =

S

rot(E(x)) · n(x) dS(x) d´av´a

rot(E(x)) = 0 pro x ∈ R

3

.

Elektrostatika

Podm´ınky na rozhran´ı

Ω

ε

1

ε

1

ε

2

ε

2

D

1

D

2

Γ, σ

n

1

n

1

k

E

1

E

2

Γ

∂Ω

D(x)·n(x) dS(x) =

Ω

ρ(x) dV (x) ⇒

(

D

1

(

x) − D

2

(

x)) · n

1

(

x) = σ(x) pro x ∈ Γ

k

E(x) dl(x) = 0 ⇒

(

E

1

(

x) − E

2

(

x)) × n

1

(

x) = 0 pro x ∈ Γ.

Elektrostatika

Pˇ

r´ıklad formulace elektrostatick´

e ´

ulohy















−div(ε

r

(

x)∇u(x)) =

ρ(x)

ε

0

pro

x ∈ R

3

u(x) = u pro x ∈ ∂Ω

u(x) = O(1/|x|) pro |x| → ∞

kde supp ρ ⊂ Ω, Ω ⊂ R

3

je omezen´a nepr´azdn´a oblast,

na jej´ıˇz hranici je aplikov´ano

napˇet´ı

u .

Metoda koneˇ

cn´

ych prvk˚

u v elektrostatice

Slab´

a formulace ´

ulohy elektrostatiky

Literatura

• F. Ihlenburg: Finite element analysis of acoustic scattering, Springer, ’98

• Feynmanovy pˇrednaˇsky z fyziky, 2.d´ıl, Fragment, ’01

• P. Monk: Finite element methods for Maxwell’s equations, Oxford Univ. Press, ’03

• J.-C. N´ed´elec: Acoustic and electromagnetic equations, Springer, ’01

• J. Sch¨oberl: Numerical methods for Maxwell’s equations, skripta JKU Linec, ’05

• O. Steinbach, S. Rjasanow: Fast Boundary Element Methods, Springer ’07