Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar. Ketma-ketlikning limiti


Download 445 b.
Sana24.05.2018
Hajmi445 b.













Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar. Ketma-ketlikning limiti

  • Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar. Ketma-ketlikning limiti

  • haqidagi asosiy teoremalar

  •  

  • Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar orasida limiti nolga teng bo‘lganlari matematik analizda alohida ahamiyatga egadir.

  • 9.2.1-ta’rif. Limiti nolga teng bo‘lgan ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor deyiladi.

  • Agar {xn} cheksiz kichik miqdor bo‘lsa, yuqoridagi ta’rif asosida

  • bo‘lib, uchun shunday n0 natural son mavjud bo‘ladiki,

  • tengsizlik bajariladi.

  • Odatda, cheksiz kichik miqdorlarni grek alifbosining satriy harflari orqali belgilanadi:

  • {n}, {n}, {n}…

  • Masalan,

  • larni qarasak, {n}, {n}, {n} lar cheksiz kichik miqdorlardir.



O‘zgarmas miqdorlar ichida faqat 0 gina cheksiz kichik miqdor bo‘la oladi.

  • O‘zgarmas miqdorlar ichida faqat 0 gina cheksiz kichik miqdor bo‘la oladi.

  • Haqiqatdan ham, c0 bo‘lsa, dir.

  • 9.2.1- teorema. Agar {xn} ketma-ketlik a chekli limitga ega bo‘lsa, uning umumiy hadini

  • xn=a+n (9.2.1)

  • yig‘indi ko‘rinishida yozish mumikin bo‘lib, bu yerda {n} cheksiz kichik miqdordir. Aksincha, {xn} ketma-ketlik umumiy hadini (9.2.1) ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lib, a o‘zgarmas son va {n} cheksiz kichik miqdor bo‘lsa, bo‘ladi.



Isbot. Aytaylik, chekli limit mavjud bo‘lsin, u vaqtda uchun shunday n0 natural son topiladiki,

  • Isbot. Aytaylik, chekli limit mavjud bo‘lsin, u vaqtda uchun shunday n0 natural son topiladiki,

  • bajariladi. xn-a=n deb belgilasak,

  • Bundan {n}-cheksiz kichik miqdorligi va yuqoridagi belgilash asosida (9.2.1) ni olamiz. Teoremaning birinchi qismi isbotlandi. Xuddi shunga o‘xshash (9.2.1) o‘rinli bo‘lsa, xn-a=n cheksiz kichik miqdor ekanligidan uchun shunday n0 topiladiki,

  • Bundan esa,

  • va, nihoyat, kelib chiqadi. Teorema to‘liq isbotlandi.

  • 9.2.2-teorema. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning algebraik yig‘indisi yana cheksiz kichik miqdordir.



Isbot. Ikkita cheksiz kichik miqdor yig‘indisi bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni {n} va {n} ketma-ketliklar uchun bo‘lsin. U vaqtda, uchun shunday n1 va n2 natural sonlar topiladiki,

  • Isbot. Ikkita cheksiz kichik miqdor yig‘indisi bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni {n} va {n} ketma-ketliklar uchun bo‘lsin. U vaqtda, uchun shunday n1 va n2 natural sonlar topiladiki,

  • o‘rinli bo‘ladi. Agar n0 =max{n1;n2} desak,

  • ekanligi va bundan cheksiz kichik miqdorligi kelib chiqadi.

  • Agar cheksiz kichik miqdorlar soni ikkitadan ortiq, masalan, uchta bo‘lsa, yig‘indining guruhlash xossasidan foydalansak kifoya:To‘liq isbot matematik induksiya usulida bajariladi.

  • 9.2.3-teorema. Chegaralangan miqdorning cheksiz kichik miqdor bilan ko‘paytmasi cheksiz kichik miqdordir.



Funksiya limitining asosiy xossalari

  • Funksiya limitining asosiy xossalari

  •  

  • 9.4.1-ta’rif. Agar x0 f(x) funksiya aniqlanish sohasining quyuqlik (limitik) nuqtasi bo‘lib, bo‘lsa, uni x0 nuqtada cheksiz kichik funksiya yoki cheksiz kichik miqdor deyiladi.

  • 9.4.2-ta’rif. Agar x0 (x) funksiya aniqlanish sohasining limitik nuqtasi bo‘lib, ixtiyoriy olingan musbat M son uchun shunday >0 son topilsaki, argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi va funksiya aniqlanish sohasidan olingan barcha qiymatlarida bajarilsa, u x0 nuqtada cheksiz katta funksiya (miqdor) deyiladi va ko‘rinishda yoziladi. Bu holda shartli ravishda funksiya cheksiz limitga ega deb ham yuritiladi. Xuddi yuqoridagidek, agar bo‘lsa, da cheksiz kichik funksiya; bo‘lsa, da cheksiz katta funksiya deb ataladi.

  • Bu yerda ham cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar orasida ketma-ketliklardagi kabi bog‘lanish mavjud ekanligini, ya’ni birining teskari qiymati ikkinchisidan iborat bo‘lishini aytamiz.



1-eslatma.

  • 1-eslatma.

  • yozuvlarning ma’nolari haqida fikrlab ko‘rishni o‘quvchining o‘ziga tavsiya qilamiz. Ketma-ketliklar uchun ko‘rilgan limitning barcha xossalari bu yerda ham o‘z kuchida qoladi. Ulardan ba’zilarini keltiramiz.

  • 10. Agar fi (x) (i=1,2,…,n) funksiyalar x0 ning yetarlicha yaqin atrofida aniqlanish sohalari bir xil qismiy to‘plamga ega bo‘lgan holda bu nuqtada ularning chekli limitlari mavjud bo‘lsa,o‘rinlidir.

  • 20. Agar chekli limit mavjud va bo‘lsa, nuqtaning shunday yaqin atrofi mavjud bo‘ladiki, argument qiymati undan va funksiya yaqinlanish sohasiga tegishli qilib olinganda f(x) ning ishorasi b ning ishorasi bilan bir xil bo‘ladi, xatto aytilgan yaqin atrofni toraytirish hisobiga ni o‘rinli qilish mumkin.



30. Agar f(x) va (x) funksiyalar x0 nuqtaning yetarlicha yaqin atrofida bir xil qismiy aniqlanish sohaga ega va bu nuqtada ularning chekli limitlari mavjud bo‘lib, bo‘lsa,o‘rinlidir.

  • 30. Agar f(x) va (x) funksiyalar x0 nuqtaning yetarlicha yaqin atrofida bir xil qismiy aniqlanish sohaga ega va bu nuqtada ularning chekli limitlari mavjud bo‘lib, bo‘lsa,o‘rinlidir.

  • 40. Agar (x) funksiya x0 nuqta yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib, chekli limit mavjud va f(z) funksiya z0 nuqta yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib, chekli limit mavjud bo‘lsa, f[(x)] murakkab funksiyaning x0 nuqtadagi chekli limiti mavjud bo‘lib, o‘rinli bo‘ladi, ya’ni .

  • 2-eslatma. Keltirilgan bu xossalardagi shartlar faqat yetarli shartlar bo‘lib, ular zaruriy emasdir. Masalan, (x) Dirixle funksiyasini olsak (8.4-va 8.5-bandlarga qarang), uning birorta ham nuqtada limiti mavjud emasligi ravshandir. Endi,funksiyani qarasak, u birorta nuqtada ham limitga ega bo‘lmagan funksiyadir. Ammo, funksiyalar o‘zgarmaslardan iborat bo‘lib, ular ixtiyoriy x0 nuqtada chekli limiti mavjuddir.



50. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning limitlari (chekli yoki cheksiz) ma’lum bo‘lsa, u vaqtda yettita shartli simvollar bilan tavsiflanadiganlardan boshqa hamma hollarda ifodalarning limitlarini hisoblashda yuqorida keltirilgan funksiya limitining xossalaridan foydalanish mumkin. Bu (9.4.1) yettita simvollar bilan tavsiflangan hollarda esa (9.4.2) ifodalar aniqmasliklarni bildiradi. Bunday aniqmasliklarni ochish uchun f(x) va g(x) funksiyalarning limitlarini bilishning o‘zi yetarli bo‘lmay, bu funksiyalarning o‘zgarish qonunlarini ham hisobga olishga to‘g‘ri keladi.

  • 50. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning limitlari (chekli yoki cheksiz) ma’lum bo‘lsa, u vaqtda yettita shartli simvollar bilan tavsiflanadiganlardan boshqa hamma hollarda ifodalarning limitlarini hisoblashda yuqorida keltirilgan funksiya limitining xossalaridan foydalanish mumkin. Bu (9.4.1) yettita simvollar bilan tavsiflangan hollarda esa (9.4.2) ifodalar aniqmasliklarni bildiradi. Bunday aniqmasliklarni ochish uchun f(x) va g(x) funksiyalarning limitlarini bilishning o‘zi yetarli bo‘lmay, bu funksiyalarning o‘zgarish qonunlarini ham hisobga olishga to‘g‘ri keladi.

  • Misollar:

  • 1) topilsin. Ko‘paytmaning limiti haqidagi xossani qo‘llasak:

  • 2) topilsin. Bu yerda maxrajning limiti nolga teng bo‘lgani uchun bo‘linmaning limiti haqidagi xossani qo‘llab bo‘lmaydi.Bundan tashqari, kasr suratining limiti ham nolga teng bo‘lgani uchun berilgan ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslikdir. Bu limit ostidagi kasrning surati bo‘lgani uchun, da x-20 ekanligini e’tiborga olib, ga ega bo‘lamiz.

  • 60. Biror (a; b) oraliqda aniqlangan va monoton (keng manoda bo‘lishi ham mumkin) funksiya uchun f(b-0) – chekli yoki ± ; f(a+0) – chekli yoki limitlar ( oldidagi yuqori ishora funksiya kamaymovchi, quyi ishora esa o‘smovchi bo‘lgan holga to‘g‘ri keladi); undan tashqari, uchun f(x0+0) va f(x0-0) chekli limitlar mavjud hamda o‘rinlidir.



Cheksiz kichik miqdorlarni taqqoslash

  • Cheksiz kichik miqdorlarni taqqoslash

  •  Ko‘pincha, cheksiz kichik miqdorlar bilan ish ko‘rilganda ularning nolga yaqinlashishi haqida o‘ziga xos ma’lum bir holatlarini hisobga olishga yoki birini boshqasi bilan taqqoslashga to‘g‘ri keladi. Quyida shu haqdagi ba’zi bir tushunchalarni keltiramiz.

  • Agar  va  lar cheksiz kichik miqdorlar bo‘lib, ularning nisbati noldan farqli chekli limitga ega, ya’ni bo‘lsa, ular bir xil tartibli cheksiz kichiklar deyiladi, va (yoki ) kabi yoziladi.

  • Masalan. da va lar cheksiz kichiklardir. Ularning nisbati uchun Demak, da va lar, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha, bir xil tartibli cheksiz kichiklar ekan, ya’ni .



Demak, da va lar, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha, bir xil tartibli cheksiz kichiklar ekan, ya’ni .

  • Demak, da va lar, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha, bir xil tartibli cheksiz kichiklar ekan, ya’ni .

  • 9.6.2- ta’rif. Agar  va  lar cheksiz kichiklar bo‘lib, bo‘lsa,  cheksiz kichik  ga qaraganda yuqori tartibli deyiladi, va kabi yoziladi.

  • 9.6.3- ta’rif. Agar  va  lar cheksiz kichiklar bo‘lib, bo‘lsa,  cheksiz kichik  ga qaraganda quyi tartibli deyiladi.

  • 1- eslatma. Yuqoridagi ta’riflar bo‘yicha  cheksiz kichik  cheksiz kichikka qaraganda yuqori tartibli bo‘lsa,  ning  ga qaraganda quyi tartibli ekanligi kelib chiqadi va aksincha.

  • Masalan. da va lar cheksiz kichiklardir.



9.6.2-teorema. lar turli tartibli cheksiz kichiklar bo‘lib, ularda eng quyi tartiblisi bo‘lsa, bo‘ladi.

  • 9.6.2-teorema. lar turli tartibli cheksiz kichiklar bo‘lib, ularda eng quyi tartiblisi bo‘lsa, bo‘ladi.

  • Isbot. Haqiqatdan ham,bo‘lib, miqdor larga nisbatan quyi tartibli ekanligida , ya’ni kelib chiqadi.

  • 4- eslatma. Agar cheksiz kichik miqdorlar yig‘indisida unga ekvivalent qo‘shiluvchi ajratilgan bo‘lsa, bu qo‘shiluvchi yig‘indining bosh qismi deb ataladi. Yuqoridagi teoremada qo‘shiluvchi ning bosh qismidan iboratdir.



9.6.5-ta’rif. Agar cheksiz kichik miqdorlar ichida birortasi, masalan asosiy cheksiz kichik miqdor sifatida qabul qilingan bo‘lib,  cheksiz kichik u bilan taqqoslanayotgan bo‘lsa, hamda, shunday son mavjud bo‘lsaki, noldan farqli chekli limit mavjud bo‘lsa,  k- tartibli cheksiz kichik miqdor deb ataladi.

  • 9.6.5-ta’rif. Agar cheksiz kichik miqdorlar ichida birortasi, masalan asosiy cheksiz kichik miqdor sifatida qabul qilingan bo‘lib,  cheksiz kichik u bilan taqqoslanayotgan bo‘lsa, hamda, shunday son mavjud bo‘lsaki, noldan farqli chekli limit mavjud bo‘lsa,  k- tartibli cheksiz kichik miqdor deb ataladi.

  • 5- eslatma. Yuqoridagi ta’rif bo‘yicha (9.6.1) o‘rinli bo‘lsa,  ekanligini ko‘rish mumkin, ya’ni bo‘lib, cheksiz kichikning bosh qismidan iborat,  esa k- tartibdan yuqoriroq tartibli cheksiz kichik bo‘ladi. Masalan, va larda  asosiy cheksiz kichik deb olsak,   , ya’ni -ikkinchi tartibli cheksiz kichik ekanligini keltirib chiqarish qiyin emas.

  • 9.6.6-ta’rif. Agar  va  lar cheksiz kichiklar bo‘lib, chekli yoki cheksiz limit mavjud bo‘lmasa, ular bir-biri bilan taqqoslanmaydigan cheksiz kichiklar deyiladi.



Masalan, va larni qarasak, ular cheksiz kichiklar bo‘lib, - limit mavjud emas. Haqiqatdan ham, funksiya 0 nuqtada aniqlanmagan bo‘lib, aniqlanish sohasining limitik nuqtasidir. son berilganda 0 nuqta yaqin atrofidan nuqtalarni olsak, ular uchun tengsizliklar

  • Masalan, va larni qarasak, ular cheksiz kichiklar bo‘lib, - limit mavjud emas. Haqiqatdan ham, funksiya 0 nuqtada aniqlanmagan bo‘lib, aniqlanish sohasining limitik nuqtasidir. son berilganda 0 nuqta yaqin atrofidan nuqtalarni olsak, ular uchun tengsizliklar

  • bo‘lganda bajarilib, bo‘lishi aniqdir. Endi, deb faraz qilinsa, musbat son har qancha kichik olinmasin 0 nuqtada funksiya uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lmasligi, ya’ni Koshi shartining bajarilmasligi kelib chiqadi. Bu esa chekli limit mavjud emasligining tasdig‘idir.

  • Ammo, ekanligidan cheksiz limit ham mavjud emas. Demak,  va  lar bir-biri bilan taqqoslanmaydigan cheksiz kichiklar ekan.



  • E’tiboringiz uchun raxmat





Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling