Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar

5.1.1. Ta’rif. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin. Barcha lar uchun vektor fazoda chiziqli akslantirish yoki gomomorfizm deyiladi, agar quyidagi shartlar o’rinli bo’lsa:

va

Inyektiv chiziqli akslantirish –monomorfizm, surektiv chiziqli akslantirish – epimorfizm va biektiv chiziqli akslantirish – izomorfizm deb ataladi.

Aytaylik, va xaqiqiy lar uchun o’rinli bo’lsin. akslantirish aniqlangan bo’lib

va



shartlar o’rinli bo’lsa, bu akslantirish izomorfizm deb ataladi. 1.3.5 ta’rifga asosan teskari almashtirish xam mavjud. Shuningdek, yuqoridagi shartlarga ko’ra teskari akslantirish xam izomorfizmdir.

5.1.2. Tarif. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin. A va V izomorf deyiladi, agar o’zaro bir qiymatli izomorfizm mavjud bo’lsa va uni quyidagicha yozish mumkin:

yoki

ayniy akslantirish izomorfizmdir. Ta’rifga asosan barcha lar uchun va u chuziqlidir, shuningdek akslantirish nol akslantirish hisoblanadi.

bo’lsin. akslantirish ta’rifga asosan barcha lar uchun chiziqli va u gomotety (o’xshash) deb ataladi.

Bundan tashqari va lar chiziqli akslantirish bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham chiziqli akslantirish tashkil etishini ko’rishimiz mumkin.

5.1.3. Teorema. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. U holda quyidagi xossalarga ega bo’lamiz:

1) .

2) uchun .

3) lar uchun .

4) va lar uchun

5) agar B Aga qism fazo bo’lsa, uning obrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, V ga qism fazo bo’ladi.

6) Agar U Vga qism fazo bo’lsa, uning proobrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, A ga qism fazo bo’ladi.

7) Agar M A da qism to’plam tashkil etsa, u holda

Isbot.

1. 
   Har bir uchun o’rinli. Shunga ko’ra
   

V da qo’shma qarama–qarshilikka ega. Yuqoridagi qonuniyatga asosan:

ga ega bo’lamiz.

2. 
   , demak
   

bundan ga o’zaro teskaridir.

3. 
   
   
4. 
   n uchun induksiyadan foydalanamiz. n=2 uchun
   

.

Faraz qilaylik,

isbotlangan.

Bundan,

ni hosil qilishimiz mumkin.

5. 
   va bo’lsin, 4.1.7 teoremaga asosan , bundan
   

va

Shunday qilib, 4.1.7 teoremaga ko’ra V ga qism fazo bo’ladi.

6. 
   , va bo’lsin. va ga ko’ra U Vga qism fazo bo’ladi.
   

4.1.7 teoremaga asosan A ga qism fazo bo’ladi.

7) bo’lsin. 4.2.3 teoremaga ko’ra haqiqiy elementlar uchun ko’rinishda bo’ladi. .

Bundan ko’rinadiki,

.

Mantiqan bo’lsin. Argumentlariga murojat qiladigan bo’lsak,

ni isbotlashga erishamiz.

Qism fazo f–chiziqli akslantirishda yadro deb ataladi.