Chiziqli algebra

Isboti. va umumiy haqiqiy ildizga ega bo’lmagani uchun shunday kichik oraliqni olish mumkinki, u oraliqda ning ildizi bo’lmaydi, ning esa bittagina ildizi bo’ladi.
ko’phadning karrali haqiqiy ildizlari bo’lmagani uchun qiymatdan o’tishda ko’phad o’z ishorasini o’zgartiradi. Bunda quyidagi faqat ikki hol yuz berishi mumkin: oraliqda hosila yo manfiy, yoki musbatdir. Masalan, deylik. Bu olingan oraliqda ko’phadning o’sishini ko’rsatadi. Demak, manfiy qiymatlardan musbat qiymatlarga o’tadi.
Aytilgan oraliq bilan chegaralanib, ishoralarning ushbu jadvalini tuzamiz:

			Ishora almashishlar soni
	–	+	1ta
	+	+	0ta

Demak, va orasida avval bitta ishora almashinish mavjud bo’lsa, ildizdan o’tgandan keyin u almashinish yo’qoladi.

holda ham xuddi shunday natijaga kelamiz (faqat bu vaqtda ko’phad kamayuvchi bo’ladi).
Shturm teoremasi (Ko'phad haqiqiy ildizlari soni haqidagi tеorеma).


ko’phad karrali ildizlarga ega bo’lmasin va haqiqiy sonlar ning ildizlari bo’lmasin. U holda ni dan gacha o’zgartirganda uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, ning oraliqda xuddi shuncha haqiqiy ildizi mavjud bo’ladi.
Isboti. Haqiqatan ham, o’sa borib Shturm qatoridagi oraliq ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa ham, yoki o’tmasa ham bu qatordagi ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi (3-xossaga asosan).
Agar o’sa borib, ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, va orasida, va demak, butun Shturm qatorida bitta ishora almashinish yo’qoladi(4-xossaga muvofiq).
Shunday qilib, ni dan gacha o’zgartirganda Shturm qatorida nechta ishora almashinish yo’qolsa, ko’phadning oraliqda xuddi shuncha haqiqiy ildizi mavjud bo’ladi. oraliqning biror chegarasida ba’zi oraliq ko’phadlar nolga teng bo’lib qolsa, Shturm qatoridagi ishora almashinishlar sonini hisoblashda bunday nolga teng ko’phadlarni e’tiborga olmaslik mumkin. Haqiqatan, qiymatda desak, va sonlar qarama-qarshi ishoralarga ega bo’ladi. Shu sababli ning ishorasini qanday deb hisoblamaylik, sonlar bitta ishora almashinishni tashkil etadi.
Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish masalasini ko`raylik.Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va avvaldan berilgan a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish masalasini ko`ramiz.Bu masalalarga bir muncha sodda bo`lgan Shturm metodini qo`llab javob beramiz.Noldan farqli bo`lgan haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan sistemasi, masalan
1, 3, -2, -5, 6, 1, 3, -1, -1, 4, 1 (1)
berilgan bo`lsin, Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik:
+ , + , - , - , + , + , + , - , - , + , + (2)
Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini, ketma-ket turganini ko`ramiz. Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta ishora o`zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim topish mumkin. Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phad berilgan bo`lsin va u karrali ildizga ega emas deb faraz qilaylik.
Agar f(x) ko`phad karrali ildizlarga ega bo`lsa, u holda uni o`zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo`luvchisiga bo`lib yuborib har doin karrali ildizga ega bo`lmagan ko`phadni hosil qilishimiz mumkin.
Agar quyidagi shartlar bajarilsa noldan farqli ko`phadlarning tartiblangan chekli sistemasi
f(x)= f₀(x) , f₁(x) , f₂(x),...., f_s(x) (3)
f(x) ko`phadning Shturm sistemasi deyiladi.
1). (3) sistemaning qo`shni ko`phadlari umumiy ildizga ega emas.
2).Oxirgi f<sub>s</sub>(x) ko`phad haqiqiy ildizga ega emas.
3). Agar  son (3) sistemaning oraliq ko`phadlaridan biri bo`lgan f_k(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa,( 1 k  s-1) u holda f_k-1() va f_k+1() qarama-qarshi ishoraga ega bo`ladilar.
4). Agar  son f(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa, u holda x o`sa borib  dan o`tganda f(x)f<sub>1</sub>(x) ko`paytma o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi.
f(x) ko`phad shunday (3) Shturm sistemasiga ega deb faraz qilaylik.(Ixtiyoriy ko`phadning Shturm sistemasiga egaligi masalasini keyinroq ko`ramiz) .
Agar c haqiqiy son berilgan f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlaridan ibrat bo`lmasa, u holda haqiqiy sonlarning
f(c ) , f<sub>1</sub>(c ), f<sub>2</sub>( c ),....,f<sub>s</sub>( c)
sistemasini olamiz, undan barcha nolga tenglarini o`chiramiz va W( c) orqali qolgan sistemaning ishora o`zgarishlar sonini belgilaylik.
Ta`rif.W( c) ni f(x) ko`phadning (3) Shturm sistemasida x = c bo`lgandagi ishora o`zgarishlar soni deyiladi.