Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kramer formulasi va Gauss usuli

Misol. 1)

Yechish. a₁₁=2≠0 bo’lgani uchun birinchi tenglamani 2 ga bo’lamiz.

Bu sistemaning 1-tenglamasini (-3) ga ko’paytirib 2-tenglamaga, (-5)ga ko’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak

Endi bo’lgani uchun 2-tenglamani ga bo’lib , so’ngra uni ga ko’paytirib 3- tenglamadan ayirsak:
 x₁=-4;x₂=3;x₃=-1.
2)

1-tenglamani (-2) ga ko’paytirib 2-tenglamaga ,(-1) ga ko’paytirib
3-tenglamaga qo’shsak 
x₂=1+x₃; x₁=1-2-2x₃+ 4x₃-= 2x₃-1.
Shunday qilib x₁=2x₃-1; x₂=1+x_3.
Demak berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega ekan, chunki x₃ ga ixtiyoriy son berib, x₁, x₂ larning cheksiz ko’p qiymatlarini xosil qilamiz.


Misollar.


51. 52. 53.


54. 55. 56.


57. 58. 59.


60. 61. 62.


63. 64. 65.


66. 67.


Matrisalar yordamida chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasini yechish.
Qulaylik uchun uchta noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini ko’raylik.

Elementlari noma’lumlarning koeffisiyentlaridan, noma’lumlardan va ozod
xadlardan tuzilgan quyidagi matrisalarni ko’raylik.
A= , X= , C=
Bu xolda (1) sistemani qo’yidagicha yozish mumkin.
x = AX=C (2).
Agar A matrisa maxsusmas matrisa bo’lsa, u xolda unga teskari bo’lgan
A^-1 matrisa mavjud bo’ladi. Shuning uchun (2) ning xar ikkala tomonini A^-1 ga ko’paytirsak
A^-1(AX)= A^-1C (A^-1A)X= A^-1C
Agar A^-1A=AA^-1 =E va EA=AE=A tengliklarni e’tiborga olsak
(A^-1A)X= A^-1C EX= A^-1C X= A^-1C (3),
(3) (1)-sistemaning yechimini ifodalaydi.
Misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini matrisaviy usulda yeching:





Yechish. Sistemani matrisa ko’rinishida yozaylik:
x =
A= , detA=|A|= =50
Demak A matrisa uchun A^-1 matrisa mavjud . Berilgan A matrisa elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini xisoblab teskari matrisani topamiz
A^-1 =
Endi (3) formulaga asosan
= =
x₁=2; x₂=1; x₃=3 .


Misоllаr.


Quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаlаrini mаtrisаlаr hislbi yordаmidа еching (68-71).


68. 69.


70. 71.


Quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаlаrini nоmа’lumlаrni kеtmа-kеt yo’qоtish usulidа еching (72-77).


72. 73.


74. 75.


76. 77.