Chiziqli algebraik tenglamalar

^5.4. CHIZIQLI MODELLAR HAMDA ULARNI YECHISH

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari.
   

Masalaning qo’yilishi. Jordan usuli. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi(CHATS)ni echish, modellashtirishda ko’p uchraydigan masalalardan biridir. CHATS qandaydir fizik jarayonning matematik modeli deb qarash mumkin. Berilgan ma’lumotlar asosida ko’phadlar yoki maхsus egri chiziqlar qurish, differensial va integral tenglamalarni diskret algebraik sistema ko’rinishda ifodalash

CHATS ni echishga keltiriladi. n
ta noma’lumli n
ta chiziqli algebraik tenglamalar

a


_a₁₁ x₁  a₁₂ x₂  ...  a_1n  b₁

sistemasi

^ 21 ^x1

 a₂₂ x₂
 ...  a_{2 n}
 b_{2 (}

_.........................................
_^a_n1 x₁  a_{n 2} x₂  ...  a_nn x_n  b_n

5.4.1)

berilgan bo’lsin. Bu erda
a_ij ,b_i
lar berilgan sonlar,
^x_i lar noma’lumlar

^{i, j  1,2,...,n}. Agar (5.4.1) sistemaga mos keluvchi asosiy determenant ^
farqli, ya’ni
noldan

a₁₁ a₁₂ ... a_{1n
 } a₂₁ a₂₂ ... a_{2 n  0}
.................
a_n1 a_{n 2} ... a_nn
bo’lsa, bu sistema yagona echimga ega bo’ladi.

CHATSni echishda aniq (Gauss, Kramer, teskari matritsa) va taqribiy (ketma- ket yaqinlashish, oddiy iteratsiya, Zeydel) usullaridan foydalanish mumkin.

CHiziqli algebraik tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda berilgan bo’lsin:
_ a₁₁ x₁  a₁₂ x₂ ...  a_1n x_n  a₁
^a₂₁ x₁  a₂₂ x₂ ...  a_{2 n} x_n  a₂

_....................................
^_a_n1 x₁  a_{n 2} x₂ ...  a_nn x_n  a_n
Yuqoridagi masala uchun dastlabki Jordan jadvalini tuzib olamiz:

	x1	x	…	x
a1 	^a11	^a12	…	^a1n
a2 	^a21	^a22	…	^a2 n
…	…	…	…	…
am 	^am1	^am 2	…	^amn

Ushbu jadval asosida Jordan almashtirishlari quyidagi tartibda bajarilib navbatdagi jadval to’ldiriladi:

1. 
   Jordan almashtirishlari hal qiluvchi elementga nisbatan echiladi. Jadvalning yuqori o’ng burchagidagi element hal qiluvchi element sifatida tanlab olinadi. Hal qiluvchi element joylashgan satr va ustun mos ravishda hal qiluvchi satr va hal qiluvchi ustun deyiladi;
   
2. 
   hal qiluvchi satrdagi son va hal qiluvchi ustundagi o’zgaruvchi o’rni almashtiriladi;
   
3. 
   hal qiluvchi element o’rniga unga teskari sonni yozamiz;
   
4. 
   hal qiluvchi ustun elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, natijani shu elementlarga mos kataklarga yozamiz;
   
5. 
   hal qiluvchi satr elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, ishorasini o’zgartiramiz va natijani shu elementlarga mos kataklarga yozamiz;
   
6. 
   qolgan kataklar to’rtburchak qoidasi bo’yicha to’ldiriladi. Masalan, (2.2) katakni to’ldirish uchun quyidagi hisoblash bajariladi:
   

_a¹ _ ^a11 ^{ a}22 ^{ a}21 ^{ a}12 _.

a
22
11

7. 
   hal qiluvchi elementlar diagonal bo’yicha tanlanadi va bu jarayon nav- batdagi tanlanishi kerak bo’lgan elementdan boshlab quyi o’ng burchakdagi barcha elementlar nol bo’lguncha davom ettiriladi. Aks holda jarayon hal qiluvchi element sifatida diagonalning oхirgi elementi tanlanguncha davom ettiriladi. Agar diagonalda hal qiluvchi element sifatida olinishi kerak bo’lgan son, masalan
   

a_pp  0
bo’lib, undan quyi va o’ng tomonda noldan farqli elementlar mavjud

bo’lsa, bu sonlardan biri satr va ustunlar o’rnini almashtirish orqali ^{( p, p )} katakka

olib kelinadi va u hal qiluvchi element sifatida tanlab olinadi. Agar hosoblash

diagonal bo’ylab oхirgi ^{( m,}
ko’rinishga keladi:
elementgacha olib borilsa, oхirgi jadval quyidagi

	a1	a2	…	an
x1 	^b11	b	…	^b1n
x2 	b	b	…	^b2 n
…	…	…	…	…
x	^bm1	^bm 2	…	^bmn

Yuqoridagi jadval asosida tenglamalar sistemasining echimini quyidagi ko’rinishda yozamiz:

_ x₁  b₁₁a₁  b₁₂ a₂ ...  b_1n a_n
^x₂  b₂₁a₁  b₂₂ a₂ ...  b_{2 n} a_n

_..........................................

^^xn
 b_n1a₁  b_{n 2} a₂ ...  b_nn a_n

Agar hisoblash jarayonida jadvalning quyi o’ng to’rtburchak qismida barcha elementlar nol bo’lsa, oхirgi jadval quyidagi ko’rinishga keladi:

	a1	a2	…	a	^xk 1	…	xn
x1 	^b11	b	…	b	b	…	b
x2 	b	b	…	^b2 k	b	…	^b2 n
…	…	…	…	…	…	…	…
xk 	^bk1	^bk 2	…	^bkk	^bkk1	…	^bkn
^ak 1 ^	^bk 11	^bk 12	…	^bk 1k	0	…	0
…	…	…	…	…	…	…	…
an 	b	^bn 2	…	b	0	…	0

Ushbu jadvalda
k  1, k  2,n
- satrlar uchun quyidagi

^ak 1 ^{ b}k 1,1^a1 ^{ b}k 1,2 ^a2 ^{...  b}k 1,n ^an
^ak 2 ^{ b}k 2 ,1^a1 ^{ b}k 2 ,2 ^a2 ^{...  b}k 2 ,n ^an

_................................................
_a_n  b_n1a₁  b_{n 2} a₂ ...  b_nna_n
tengliklar to’g’ri bo’lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi:

_x₁  b₁₁a₁  b₁₂ a₂  ...  b_1k a_k
^x  b a  b a  ...  b a
_ 2 21 1 22 2 2 k k
^{ b}1,k 1 ^xk 1 ^{ ...  b}1n ^xn
^{ b}2 ,k 1 ^xk 1 ^{ ...  b}2 n ^xn

_......................................................................

_x_k
 b_k1a₁  b_{k 2} a₂ ...b_kk a_k

• 
  ^bk ,k 1 ^xk 1 ^{ ...  b}kn ^xn
  

Yuqoridagilardan ko’rinadiki,
x₁ ,
x₂ ,..., x_k
o’zgaruvchilar
x_{k 1} ,... , x_n

o’zgaruvchilarning qiymatlariga bog’liq bo’ladi.
x_{k } ,..
o’zgaruvchilar esa

iхtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi. Bu holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi.

Agar
^ak 1 ^{ b}k 1,1^a1 ^{ b}k 1,2 ^a2 ^{...  b}k 1,n ^an
^a  b a  b a ...  b a
_ k 2 k 2 ,1 1 k 2 ,2 2 k 2 ,n n
_.....................................................
_a_n  b_n1a₁  b_{n 2} a₂ ...  b_nn a_n
tengliklardan birortasi bajarilmay qolsa, tenglamalar sistemasi echimga ega bo’lmaydi.
Misol: Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Jordan usulida eching:
_2x₁  x₂  2x₃  4


_ x₁

• 
  x₂
  

 2x₃  1

	4	x2	x3
x1	1/2	-1/2	-1
1=	1/2	-32	1

^3x  x  2x  3
 1 2 3

	x1	x2	x3
4=	2	1	2
1=	1	-1	2
3=	3	1	-2

Echish: Yuqoridagi masala uchun dastlabki Jordan jadvalini tuzib olamiz:

Jordan almashtirishlaridan keyin navbatdagi jadvallar quyidagi ko’rinishga keladi:

3=

3/2

-1/2

-5

a
Hal qiluvchi element sifatida
¹   ³₂
ni olib, unga nisbatan Jordan

22
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz:

a
Hal qiluvchi element sifatida
² _{ }16₃

ni olib, unga nisbatan Jordan

33
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz:

	4	1	3
x1	0	1/4	1/4
x2	1/2	-5/8	-1/8
x3	1/4	1/16	-3/16

Oхirgi jadvaldan tenglamalarning ildizlarini topamiz:

x₁  4  0  11/ 4  3 1/ 4  1/ 4  3 / 4  1
x₂  4 1/ 2  1 5 / 8  3 1/ 8  2  5 / 8  3 / 8  1
x₃  4 1/ 4  11/ 16  3  3 / 16  1  8 / 16  1/ 2
Topilgan ildizlarni sistemaga qo’yib, echimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin.