Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash

Savollar

1. 
   Funkciyalarni kesmada eng kichik kvadratlar usuli bilan yaqinlashtirish. Bunday yaqinlashtirishning koeffitsientlarini bitta ma'noli aniqlashga bo'ladiganini asoslash.
   
2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli chiziqli emas ODTlarga qo'yilgan chegaraviy muammolar, ularning turlari, geometrik mohiyatlari, yechimlarining bor bo'lishi.
   
4. 
   Diskret matematika va matematik mantiqiyot faniga kirish
   
5. 
   Formulalarning chinlik to’plami tushunchasi
   
6. 
   To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamlar, birlashma, kesishma, universal to’plam, tartiblangan juftlik, dekart ko’paytma.
   
7. 
   To’plamlar nazariyasining asosiy qonunlari
   
8. 
   Mantiqlik olgebradagi arifmetkalıq amallar. Jegalkin ko'paǵzalısı
   
9. 
   Funkciya. Munosabat, binar munosabat, munosabatlar ustida amallar, relyacion algebra.
   
10. 
    Rele-kontakt sxemalari.
    
11. 
    Taqqoslash va mantiqiy amallar
    
12. 
    Strukturalar va ular bilan ishlash. Dinamik strukturalar
    
13. 
    Abstrakt metodlarni voris sinflarda qayta aniqlash.
    

Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash.
Faraz qilaylik

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi biror usul bilan

ko'rinishiga keltirilgan bo'Isin. Ixtiyoriy vektor olib uni boshlang'ich yaqinlashish deylik. Agar keyingi yaqinlashishlar

rekurrent formulalar yordamida aniqlansa, bunday metod oddiy iteratsiya metodi deyiladi. Agar (3) ketma-ketlikning limiti mavjud bo'tsa, bu limit (2) sistemaning (shu bilan (1) sistemaning ham) yechimi bo'ladi.
Haqiqatan ham (3) da limitga o'tsak, kelib chiqadi.
Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishini quyidagi teorema ko'rsatadi.
Teorema 5. (3) oddiy iteratsion jarayon ixtiyoriy boshlang'ich da yaqinlashuvchi bo'lishi uchun matritsaning barcha xos sonlarining modullari birdan kichik bo'lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Faraz qilaylik, mavjud bo' . U holda . Bundan (3)ni ayirsak, quyidagilarga ega bo'lamiz:

Endi vektor ga bog'liq bo'Imaganligi uchun

tenglikda limitga o'tsak,

kelib chiqadi, bundan 1-lemmaga asosan matritsaning barcha xos sonlarining modullari birdan kichikligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. (3) orqali aniqlangan barcha yaqinlashishlarni boshlan ich yaqinlashish va vektorlar orqali ifodalaymiz:

Endi, faraz qilaylik ning xos sonlarining moduli birdan kichik bo' 1 sin. U holda 1-lemmaga ko'ra, , 2-teoremaga asosan tengliklar o'rinli bo'ladi. Jemak, qanday bo'lishidan qat'iy nazar yaqinlashuvchi ketma-ketlik ekan.
Faraz qilaylik

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi biror usul bilan

ko'rinishiga keltirilgan bo'Isin. Ixtiyoriy vektor olib uni boshlang'ich yaqinlashish deylik. Agar keyingi yaqinlashishlar

Bu teorema nazariy jihatdan foydali, lekin amaliyot uchun yaramaydi. Quyidagi teorema matritsaning elementlari orqali iteratsion jarayon yaqinlashishining yetarli shartini ko'rsatadi.
Teorema 6. (3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo' lishligi uchun matritsaning biron normasi birdan kichik bo'lishi yetarli.
Isboti. Agar bo'lsa, 3-lemmaga asosan matritsaning barcha xos sonlarining moduli birdan oshmaydi. Bundan 1-teoremaga ko'ra oddiy iteratsion jarayonning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Natija. (3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo'lishi uchun matritsa elementlari quyidagi

tengsizliklarning birortasini qanoatlantirishi yetarlidir.
(1) tenglamalar sistemasini (2) ko'rinishga keltirish masalasiga to 'xtalib o'tamiz.
Agar bo'lib, quyidagi

tengsizliklarning birortasi bajarilsa, u holda (2) quyidagi ko'rinishda bo ladi:
rekurrent formulalar yordamida aniqlansa, bunday metod oddiy iteratsiya metodi deyiladi. Agar (3) ketma-ketlikning limiti mavjud bo'tsa, bu limit (2) sistemaning (shu bilan (1) sistemaning ham) yechimi bo'ladi.
Haqiqatan ham (3) da limitga o'tsak, kelib chiqadi.
Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishini quyidagi teorema ko'rsatadi.
Teorema 5. (3) oddiy iteratsion jarayon ixtiyoriy boshlang'ich da yaqinlashuvchi bo'lishi uchun matritsaning barcha xos sonlarining modullari birdan kichik bo'lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Faraz qilaylik, mavjud bo' . U holda . Bundan (3)ni ayirsak, quyidagilarga ega bo'lamiz:


ya'ni

bo'lib, ixtiyoriy (3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo'ladi.
Agar (7), (8) tengsizliklarning hech qaysisi bajarilmasa, (1) tenglamalar sistemasi ustida sbunday chiziqli almashtirishlar qilish kerakki, yuqoridagi tengsizliklarning birortasi bajarilsin. Xususan, berigan tenglamalardan shundaylari ajratib olinadiki, bu tenglamalarda biror noma'lum oldidagi koeffitsiyent moduli bo'yicha shu tenglamaning qolgan barcha koeffitsiyentlari modullarining yig'indisidan katta bo'lsin. Ajratilgan tenglamalar shunday joylashtiriladiki, ularning moduli bo yicha eng kattasi diagonal koeffitsiyentlari bo'ladi. Qolgan tenglamalardan va ajratilganlardan yuqoridagi prinsipni saqlagam holda o'zaro chiziqli erkli bo'lgan chiziqli kombinatsiyalar tuziladi va bo'sh satrlar to'ldiriladi. Shu bilan birga boshlang'ich sistemaning har bir tenglamasi yangi sistema tenglamalarini tuzayotganda ishtirok etishi shart.
Tenglamalar sistemasini oddiy iterasiya usulida yechish uchun ABC Pascal algortmik tilida tuzilgan dastur matni.
program iter_sis; uses crt;
label 1,2; const n=3; {tenglamalar coni}
type matrisa=array[1..n,1..n] of real;
vektor=array[1..n] of real;
var a,a1:matrisa; x,x0,b,b1:vektor; eps,s:real; i,j,k:integer;
begin clrscr;
for i:=1 to n do begin
for j:=1 to n do begin write('a[',i:1,',',j:1,']='); read(a[i,j]) end;
write('b[',i:1,']='); read(b[i]); end;
eps:=0.0001; for i:=1 to n do begin
b1[i]:=b[i]/a[i,i];
for j:=1 to n do a1[i,j]:=-a[i,j]/a[i,i] end;
for i:=1 to n do begin
x0[i]:=b1[i]; a1[i,i]:=0; end;
2: for i:=1 to n do Begin s:=0.0;
for j:=1 to n do s:=s+a1[i,j]*x0[j];
x[i]:=b1[i]+s; end; k:=0;
for i:=1 to n do if abs(x[i]-x0[i])
then begin k:=k+1; if k=n then goto 1 end
else begin for j:=1 to n do x0[j]:=x[j]; goto 2 end;
1: writeln('Sistemaning taqribiy yechimi:');
for i:=1 to n do writeln('x[',i:1,']=',x[i]:10:8);
end.