Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash

{ * --3.11- Paskal tilida dastur - *} uses crt;
label 40,90,100; var
n,i,j:integer; c,c1:real;
a:array[1..5,1..5] of real; b:array[1..5] of real; x:array[1..5] of real; x1:array[1..5] of real;
begin
clrscr;
writeln(' Oddiy iteratsiya usulida ');
writeln(‘ chiziqli tenglamalar sistemasini yechish’); write('tenglamalar soni N=');
readln(n);
for i:=1 to n do begin
for j:=1 to n do
begin gotoxy(16*j,4*i); write(‘a[‘,i,’:’,j,’]=’); read(a[i,j]);
end; gotoxy(22*j,4*i); write(‘b[‘,i,’]=’); read(b[i]);
end;
for i:=1 to n do begin
c:=a[i,i];
for j:=1 to n do a[i,j]:=a[i,j]/c; b[i]:=b[i]/c;
x[i]:=b[i]; end;
40: for i:=1 to n do a[i,i]:=0; for i:=1 to n do
begin
c1:=0;
for j:=1 to n do c1:=c1+a[i,j]*x[j]; x1[i]:=b[i]-c1;
end;
for i:=1 to n do
if abs(x[i]-x1[i])>0.01 then goto 90; goto 100;
90: for i:=1 to n do x[i]:=x1[i]; goto 40;
100: clrscr;
writeln(‘YECHIM:’); for i:=1 to n do writeln(‘x[‘,i,’]=’,x[i]); readln;
end.
Oddiy iteratsiya usulida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish. Tenglamalar soni N=4

a[1,1]=20.9 a[1,2] =1.2 a[1,3]:=2.1 a[1,4]=0.9 a[1,5]=21.7

a[2,1]=1.2 a[2,2]=21.2 a[2,3]=1.5 a[2,4]=2.5 a[2,5]=27.46
a[3,1]=2.1 a[3,2]=1.5 a[3,3]=19.8 a[3,4]=1.3 a[3,5]:=28.76
a[4,1]=0.9 a[4,2]=2.5 a[4,3]=1.3 a[4,4]=32.1 a[4,5]=49.72

YECHIM:
x[1]=0.7999

x[2]=0.9999
x[3]=1.1999
x[4]=1.3999

Diskret matematika va matematik mantiqiyot faniga kirish
Mantiq - muhokama yuritishning qonun-qoidalari, usullari va formalari (shakllari) haqidagi fan boiib, uning asoschisi qadimgi yunon mutafakkiri Aristotel (miloddan avvalgi 384-322 y.) hisoblanadi. U birinchi boiib deduksiya nazariyasini, ya’ni mantiqiy xulosa chiqarish nazariyasini yaratib, mantiqiy xulosa chiqarishning formal xarakterga ega ekanligini ko‘rsatdi. Aristotelning mantiqiy taiim oti formal mantiqning (logikaning) asosini tashkil qiladi. Fonnal mantiq fikrlashning formalari va qonunlarini tekshiradi. Shunday qilib, Aristotel mantiqiy fikrlashning asosiy qonunlarini ochdi. Aristotel asos solgan mantiq ko‘p asrlar davomida turli mutafakkirlar, faylasuflar va butun falsafiy maktablar tomonidan toidirildi, o‘zgartirildi va takomillashtirildi. Shu jumladan, Abu Nasr Farobiy, Abu Ali Ibn Sino, Abu Rayxon Beruniy, Muhammad al-Xorazmiy, Umar Xayyom, Alisher Navoiy, Mirzo Bedil kabi Sharqning buyuk mutafakkirlari ham o‘zlarining katta hissalarini qo‘shdilar. Mantiqning yangilanishida fransuz olimi R.Dekartning (1596-1650) ishlari muhim rol o‘ynadi. R.Dekart analitik usulda fikrlashning asosiy prinsiplarini yaratdi. Olmon faylasufi va matematigi G.Leybnis (1646-1716) birinchi boiib mantiqiy fikrlashga hisob xarakterini berish zarur degan g‘oya bilan chiqdi. Buning uchun, uning fikricha, hamma ilmiy tushunchalar va mulohazalarni asosiy mantiqiy elementlarga keltirib, ulami m aium simvollar bilan belgilash kerak. G.Leybnis g‘oyalari faqat XIX asrdagina o‘z rivojini topdi. Ingliz olimlari J.Bul (1815-1864), Ch.Pirs (1839-1914), B.Rassel (1872-1970), A.Uaytxed (1861-1947), U.Jevons (1835-1882), olmon olimlari G.Fryoge (1848-1925), D. Gilbert (1862-1943), E.Shryoder (1841-1902), shotlandiyalik matematik O. de Morgan (1806-1871), rus olimlari P.S.Poreskiy (1846-1907), V.I.Glivenko (1897-1940), I.I.Jegalkin (1869- 1947) va boshqalar mantiq sohasidagi ishlari bilan simvolik yoki matematik mantiqni (logikani) yaratdilar. Matematik mantiq asoschilaridan biri boigan J.Bul (J.Bul mashhur «So‘na» romanining muallifi Lilian Voynichning otasidir) mustaqil ravishda grek, lotin, nemis, fransuz va italyan tillarini hamda matematikani o‘rganadi. U 1847- yilda yozilgan «Mantiqning matematik tahlili», «Mantiqiy hisob» va 1854 yilda yozilgan «Fikrlash qonunlarini tadqiq etish» kitoblarida mantiqni algebraik shaklga keltirdi va matematik mantiqning aksiomalar sistemasini yaratdi. Bulning mantiqiy hisobi bul algebrasi deb yuritiladi. J.Bul mantiq va matematika operatsiyalari oitasidagi o‘xshashlikka asoslanib, mantiqiy xulosalarga algebraik simvolikani qolladi. U mantiq operatsiyalarini formallashtirish (rasmiylashtirish) uchun quyidagi simvollami (belgilarni) kiritdi: - predmetlarni belgilash uchun ( X, y , z , ...) lotin alifbosining (alfavitining) kichik harflarini; - predmetlar sifatini belgilash uchun ( X , Y , Z , ...) lotin alifbosining bosh harflarini; - biror mulohazaga akslantirilgan hamma predmetlar sinfi 1 ni; - ko‘rilishi lozim bo‘lgan predmetlar yo‘qligining belgisi 0 ni; - mulohazalami mantiqiy qo‘shishning “+” belgisini; - mulohazalami mantiqiy ayirislming belgisini; -m ulohazalar tengligining “=” belgisini. Simvolik bul algebrasida mantiqiy ko‘paytirish amali, xuddi algebraik qiymatlami ko‘paytirishdagidek kommutativlik xy = yx va assotsiativlik x(yz) = (xy)z xossalariga ega. Mantiqiy qo‘shish amali ham kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega: x + y = y + x , (x + y ) + z = x + (y + z ). Bul algebrasida yig‘indi ko‘paytmaga nisbatan distributivlik qonuniga bo‘ysunadi: x ( y + z) = xy + x z . J.Bul algebraik simvolikalar yordami bilan hamma mantiqiy operatsiyalarni ikki qiymatli (1 va 0) algebra qonunlariga bo‘ysunadigan formal (rasmiy) operatsiyalarga keltirishni o‘yladi. Bul funksiyalari va uning argumentlari faqat ikki qiymat - «chin» va «yolg‘on» qiymatlar qabul qiladi. Mantiq algebrasi qoidalari orqali oddiy mulohazalardan murakkab mulohazalami hosil qilish mumkin. Masalan: xy - bir vaqtda x va у xossalarga ega bo‘lgan predmetlar sinfi; x(l-y)- /xossaga ega va у xossaga ega bo‘lmagan predmetlar sinfi; ( l - x ) j ; - у xossaga ega va x xossaga ega bo‘lmagan predmetlar sinfi;
Dastlab faqat matematik mantiq, algebra, matematik analiz, matematika asoslari, ehtimollar nazariyasi, geometriya, topologiya, sonlar nazariyasi, modellar nazariyasi kabi matematika fanlarida tatbiq etib kelingan algoritmlar nazariyasi XX asming 40-yillaridan boshlab hisoblash matematikasi, kibemetika, axborot nazariyasi, iqtisodiyot, psixologiya, matematik lingvistika, tibbiyot fanlari va diskret texnikada keng qo ilanilmoqda. So‘nggi davrlarda matematik mantiqni texnikaga juda samarali tatbiq etish imkoniyatlari borligi m aium bo‘ldi. Matematik mantiqning diskret texnikaga tatbiqi natijasida uning texnik mantiq bo‘limi vujudga keldi. Bu sohada E.Post, V.LShestakov, K.Shennon (1916 y.t.), A.Nakashima, M.Xanzava, S.KIini, O.B.Lupanov (1932 y.t.), S.V.Yablonskiy (1924 y.t.), V.B.Kudryavsev, Yu.I.Juravlyov, VJ.Levenshteyn, V.V.Glagolev, F.Ya.Vetuxnovskiy, Yu.L.Vasilyev va boshqa olimlar o‘z ilmiy izlanishlari bilan uning taraqqiy etishiga ulkan hissa qo‘shganlar. Matematik mantiqni texnikaga qoilashni birinchi boiib ms fizigi PJErenfest (1910) va gidrotexnika qurilishlari bo‘yicha yetuk mutaxassis N.M.Gersevanovlar amalga oshirganlar. K.Shennon hisoblash mashinalarini yaratishning asosiy metodi sifatida mantiq algebrasini bilgan, u axborot va uni uzatishning matematik nazariyalarni yaratdi, elektron tarmoqlardagi “ 1” va “0” binar munosabatlar bilan matematik mantiqdagi ikkilik (1 va 0) qiymatlarining mos kelishini va qanday qilib “mantiq mashinasini” yaratishni ko‘rsatdi va hokazo. Kontakli va rele-kontakli sxemalarga mantiq algebrasini tatbiq etishning isbotini birinchi boiib V.LShestakov va K.Shennon berdi. A.Nakashima va M.Xanzava matematik mantiqni diskret texnika masalalarini yechishda qoilash metodlarini yaratdilar. S.KIini diskret qurilma modelini (chekli avtomat modeli) yaratgani tufayli, matematik mantiqni xotirali diskret qurilmalarni loyihalashda ishlatish imkoni yuzaga keldi. Moskva davlat universiteti diskret matematika maktabining asoschilaridan biri O.B.Lupanovning asosiy ishlari matematik kibernetika va matematik mantiqqa bagishlangan. U murakkab boshqaravchi sistemalarning asimptotik qonuniyatlarini, kontakt sxemalar va funksional elementlardan yasalgan sxemalarni (umuman asosiy boshqaravchi sistemalarni), eng yaxshi asimptotik sintez metodlarini va lokal kodlash prinsipini ishlab chiqdi.