Chiziqli operatorlar spektral nazariyasi
Download 397.79 Kb. Pdf ko'rish
|
ChOSN MI
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4-tarif . a)
- 4-teorema
- Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar. 1.
|
171-amaliy matematika va informatika guruhi talabasi O’razmatova Surayyoning “Chiziqli operatorlar spektral nazariyasi” fanidan mustaqil ishi
Mavzu:
Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi
Reja: 1.
Chiziqli operatorlarga doir tushunchalar:xos qiymat,xos vektor,chiziqli operatorlarning chegaralanganligi haqida teorema.
2.
Chiziqli operatorlar spektri haqida tushuncha.
3. Chiziqli operatorning rezolventasi.
4. Mavzuga doir topshiriqlar.
Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan biridir. Chiziqli operator spektrini o`rganish matematik fizika uchun muhimdir. Masalan, kvant mexanikasida sistema Hamiltoniani - bu Hilbert fazosidagi o`z-o`ziga qo`shma operatordir, uning spektrini o`rganish sistema fizik xususiyatlarini o`rganish uchun muhimdir. Spektr tushunchasini dastlab chekli o`lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun eslatamiz. Faraz qilaylik, :
Ax x tenglama nolmas n x C
Ma'lumki, har bir :
matritsa mos keladi va aksincha. Chiziqli algebra kursidan ma'lumki, agar
bo`lsa,
det( ) 0 A I bo`ladi va aksincha n n
det( )
A I parametr
det(
) 0
I tenglama ko`pi bilan n ta ildizga ega, ya'ni :
n A C C
Agar
A I ga teskari operator mavjud emas va aksincha. Agar
det(
) 0
I bo`lsa, u holda A I ga teskari operator mavjud va u n C fazoning hamma yerida aniqlangan bo`ladi.
:
n A C C
Isbot. n C fazoda
1 2 , ,........, n e e e ortonormal bazisni tanlaymiz. U holda har bir n x C
vektor yagona usulda 1
i i i x x e ko`rinishda tasvirlanadi. Agar A operator n C da aniqlangan chiziqli operator bo`lsa, u holda 1
i i i Ax x Ae bo`ladi. Shunday ekan, chiziqli operator o`zining 1 2
,........, n e e e bazis vektorlardagi qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Endi Ax ning normasini baholaymiz
Bu yerda: Yuqorida aytilganlarning natijasi sifatida shuni ta'kidlash lozimki, chekli o`lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun
quyidagi ikki
holat sodir
bo`lishi mumkin: 1. son uchun Ax= x tenglama nolmas yechimga ega, ya’ni son A operator uchun xos qiymat. Bu holda A I ga teskari operator mavjud emas;
2. son uchun n C fazoning hamma yerida aniqlangan 1 (
A I operator mavjud va chegaralangan. Chekli
o`lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to`plami operatorning spektri deyiladi. Agar
bo`lmasa, u A operatorning regulyar nuqtasi deyiladi. Umuman aytganda, chekli o`lchamli fazolarda spektr termini kam ishlatiladi. Agar A operator cheksiz o`lchamli X fazoda berilgan bo`lsa, u holda yuqorida keltirilgan 1 va 2 holatlardan farqli bo`lgan uchinchi holat ham
bo`ladi,ya'ni: 3. 1 ( ) A I operator mavjud,ya’ni Ax= x tenglama faqat nol yechimga ega,lekin 1 ( ) A I operator X fazoning hamma yerida aniqlanmagan yoki
Im(
) A I X 1-ta'rif. Agar son uchun A I ga teskari operator mavjud bo`lib, u X ning hamma yerida aniqlangan bo`lsa,
1 ( ) ( )
A I operator esa A operatorning
nuqtalar to’plami ( )
A orqali belgilanadi. 2-ta'rif. A operatorning regulyar bo`lmagan barcha nuqtalari to`plami A operatorning spektri deyiladi va u σ(A) orqali belgilanadi. 3-ta'rif. Agar biror son uchun ( ) 0 AI x tenglama nolmas 0
x esa xos vektor deyiladi. Ko`rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to`plami spektrda yotadi, chunki
qiymat bo`lsa, A I operatorning teskarisi mavjud emas. Spektr quyidagi qismlarga ajratilad: 4-ta'rif. a) Barcha xos qiymatlar to`plami A operatorning nuqtali spektri deyiladi va ( )
pp A bilan belgilanadi . b) Agar
Im( )
I X , ya'ni A I operatorning qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday
( )
qol A
. Endi o`z-o`ziga qo`shma operatorlar uchun muhim spektr ta'rifni keltiramiz. 5-ta'rif. Agar biror ( )
A
son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi n f H birlik vektorlar ketma-ketligi mavjud bo`lib, 0 lim ( ) n A I
bo`lsa, u holda
A A operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi. A operatorning muhim spektri ( )
ess A
Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o`zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim spektrlar o`zaro kesishishi mumkin. 2-teorema. Agar ( )
A L x
A bo`lsa, u holda
Isbot. A I operatorni quyidagicha yozib olamiz: 1 ( ) A I I A (1) Operatorning spektri σ(A) regulyar nuqtalar to`plamining to`ldiruvchi to`plami bo`lgani uchun ( )
A
( )
ixtiyoriy nuqta bo`lsin, ya'ni
operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan bo`lsin. U holda 6-teoremaga ko`ra, barcha 1 ,
) A I
lar uchun A I I
operatorning ham chegaralangan teskarisi mavjud. Demak, ( )
A
nuqta o`zining 1 1 ( ( ) ) 0
I atrofi bilan ( ) A ga qarashli ekan. Bu esa nuqtaning ( )
to`plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi.
( )
ochiq to`plam ekanligi kelib chiqadi. Demak,20.4-teoremaga ko`ra ( )
/ ( ) A A yopiq to`plam. ∆ Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz .
( ) A L H
a) ( )
qol A
b) σ(A) to`plam R ning qismi, ya'ni ( )
A R c) A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o`zaro ortogonaldir. 1-misol.
2 ,
Hilbert fazosida erkin o`zgaruvchi x ga ko`paytirish operatori ya'ni:
2 2 : , , , ( )( ) ( )
A L a b L a b Af x xf x operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping. Yechish. A A bo`lishi uchun, deyarli barcha
, x a b
( )
yetarlidir
va ( ) ( )
u x x x u x
tenglikka ko`ra, A A 4-teoremaning a)-tasdig`iga ko`ra qol A . Ma'lumki, ( )( ) ( ) Af x xf x
( )
x f x , (2) tenglama ixtiyoriy ‚
uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A operator xos qiymatlarga ega emas, ya'ni pp A (2) -tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan 3-teoremaga ko`ra ( ) ( )
( ) A I f x g x tenglamaning ixtiyoriy Im
yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko`rsatish mumkinki
operatorga teskari operator
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A I g x x g x (3) formula bilan aniqlanadi. Agar
, a b bo`lsa, u holda ( ) 0 x , natijada 1 ( ) A I operator 2
L a b fazoning hamma yerida aniqlangan va Banax teoremasiga ko`ra, u chegaralangan bo`ladi. Demak, ,
regulyar nuqta, ya'ni ( )
, A a b . Lekin (3) formula bilan aniqlangan teskari operator ,
bo’lganda 2 , L a b fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak, ,
a b A . Bulardan, σ(A) = [a; b]. Endi A operatorning spektridagi ixtiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy
, a b uchun deymiz. Ma'lum nomerdan boshlab 1
bo`ladi va bunday nomerlar uchun 1
f tenglik o`rinli. Bundan tashqari har xil n va m larda n m A A bo`lgani uchun ( ) 0 n m f f tenglik o`rinli, ya'ni
n f ortonormal sistema ekan. Ma'lumki, ixtiyoriy ortonormal sistema nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi, shuning uchun
ketma-
ketlik ham nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi. Endi ( ) n A I f norma kvadratini hisoblaymiz:
Demak, ta'rifga ko`ra, ,
b nuqtani A operatorning muhim spektriga qarashli bo`lishini o`quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz. Shunday qilib, A operatorning spektri faqat muhim spektrdan iborat bo`lib, u [a; b] kesma bilan ustma-ust tushadi. Xulosa,
: , , , (
)( ) ( )
A C a b C a b Af x xf x operatorni qaraymiz. Uning nuqtali va qoldiq spektrini toping. Yechish. Ma'lumki, ((2) - ga qarang) ( )( ) ( ) Af x f x ya'ni
( ) ( )
0, ,
f x f C a b
tenglama ixtiyoriy
uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A operator xos qiymatlarga ega emas, ya'ni pp A (4) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan 3-teoremaga ko`ra ( ) ( )
( ) A I f x g x tenglamaning ixtiyoriy ( )
Im g x A
yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak,
operatorga teskari operator mavjud va u (3)- formula bilan aniqlanadi. Xuddi 1-misoldagi kabi ko`rsatishimiz mumkinki, σ(A) = [a,b] tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, agar
, a b bo`lsa, u holda (3)-ning o`ng tomoni ixtiyoriy ,
C a b
1
) ) ,
I C a b
teskari operatorlar haqidagi Banax teoremasiga ko`ra, 1 ( ) A I operator chegaralangan bo`ladi. Demak ‚
( )
, A C a b Agar
, a b bo`lsa, u holda (3)- formula bilan aniqlangan 1 (
A I operator C[a; b] fazoning hamma yerida aniqlanmagan, bundan
, ( )
a b A . Bulardan, σ(A) = [a,b] ekanligi kelib chiqadi. Endi ( )
( ) qol A A ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy ,
uchun A I operatorning qiymatlar sohasi
Im( ) , : ( ) ( ) ( )
A I g C a b g x x f x
C[a; b] fazoda zich emas. Haqiqatan ham, Im(
) A I chiziqli ko`pxillilikdagi ixtiyoriy g uchun ( ) 0
0 ( ) 1
f x
Im( )
A I uchun
tengsizlik o`rinli. Demak, Im( )
I chiziqli ko`pxillilikdan 0 ( ) 1 f x elementga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Qoldiq spektr ta'rifiga ko`ra, ixtiyoriy ,
( )
munosabat o`rinli. Bundan ( ) ( )
qol A A kelib
chiqadi. Teskari munosabat ( )
( ) qol A A doim o`rinli. Demak, ( )
( ) ,
A A a b ∆ 1-va 2-misollarda bir xil qonuniyat bo`yicha ta'sir qiluvchi A operator har xil
2 ,
a b
va C[a; b] fazolarda qaralgan. Har ikki holda ham A operatorning spektri [a, b] kesma bilan ustma-ust tushgan, lekin spektrning qismlarida (strukturasida) o`zgarish bo`ldi. Birinchi holda (1-misolda) ( )
qol A edi, ikkinchi holda
( ) ,
A a b . 3-misol. Endi 2
Hilbert fazosida ko`paytirish operatorini, ya'ni
2 2
A l l , 1 1 2 2
( , ,.... ....) n n Ax a x a x a x , (5) operatorni qaraymiz .Uning xos qiymatlarini va spektrini toping. Yechish. 1 sup n n a a bo`lgan holda, A ning chegaralangan ekanligi ma’lum. Bundan tashqari 1 sup
n n A a a tenglik isbotlangan edi. Ax x tenglama n a bo`lganda (0,......., 0,1, 0,......) n e
,
qiymatlari bo`lar ekan. Agar birorta ham
n a bo`lsa, u holda A I operator teskarilanuvchan bo`ladi va
1 1 2 1 2 ( ) ( , ,....
,...) n n x x x A I x a a a
, (6) Bulardan
2 , ,.... .... ( ) n pp a a a A tenglik kelib chiqadi. Ma'lumki, xos qiymatlar operatorning spektriga qarashli bo`ladi, shuning uchun
1 2 , ,.... .... ( ).
n a a a A Ikkinchi tomondan chegaralangan operatorning spektri yopiq to`plamdir, demak ( )
to`plamning yopig`i [ ( )]
pp A uchun 1 2 , ,.... .... [ ( )]
( ) n a a a A A (7) munosabat o`rinli. Agar [ ( )] pp A
bo`lsa, u holda (6)- tenglik bilan aniqlangan 2 ,
2 l fazoning hamma yerida aniqlangan va chegaralangan bo`ladi. Bundan / [
( )] ( )
pp C A A A ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan
( ) [
pp A A (8) (7) - va (8)- munosabatlardan ( )
[ ( )]
pp A A ga kelamiz. Ko`rsatamizki,
ketma-
ketlikning barcha limitik nuqtalari A operatorning muhim spektriga qarashli bo`ladi. Buning uchun limitik nuqta
k n a qismiy ketma-ketlikni qaraymiz. U holda
k n e ketma-ketlik ortonormal sistema bo`lganligi uchun nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi. Demak, son A operatorning muhim spektriga qarashli ekan. ∆ 4-misol. Quyidagicha savol qo`yamiz. 2
Hilbert fazosida shunday 2 2 : A l l chiziqli operatorga misol keltiringki, uning spektri oldindan berilgan M
ustma-ust tushsin.
separabel metrik fazo bo`lgani uchun, uning hamma yerida zich sanoqli D to`plam mavjud. U holda
M ning hamma yerida zich bo`ladi. Endi M D
2 , ,.... .... n a a a nomerlab chiqamiz va 3-misolda qaralgan, (5) - tenglik bilan aniqlanuvchi A operatorni qaraymiz. 3-misolda ko`rsatilganidek
( ) [
pp A A M D M . ∆
Bu yerda, biz M
to`plami
ko`ra,
( ) A bo`ladi. Shuni ta'kidlaymizki, M
chegaralangan bo`lsa, u holda spektri M bilan
ustmaust tushuvchi A operator ham chegaralangan bo`ladi va aksincha. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar. 1. Chekli o`lchamli fazolarda operatorning spektri faqat chekli sondagi xos qiymatlardan iborat ekanligini ko`rsating. 2.
2 2 : 0,1
0,1 , ( )( )
( ) ( ) A L L Af x u x f x operatorning spektrini toping. Bu yerda :
u a b
3. 2 ,
4. Birlik operatorning spektrini toping.
2 2 : 1,1
1,1 A L L operatorning
rezolventasini toping. 7. 1 2 3 , , lar A chiziqli operatorning 1 2 3 , , xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari bo`lsin. 1 2 3 , , larning chiziqli erkli (chiziqli bog`lanmagan) ekanligini isbotlang. 8. Spektri birlik doiradan iborat bo`lgan operatorga misol keltiring .
9. Spektri
Mavjud bo`lsa misol keltiring.
nuqtani A operatorning muhim spektriga qarashli ekanligini isbotlang . Download 397.79 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|