Chiziqli operatorning sonli tasviri haqida ayrim tasdiqlar va misollar

1.1.2. Sonli tasvirni hisoblashga doir misollar.
3-misol. Faraz qilaylik, -kompleks Gilbert fazo va biror fiksirlangan kompleks son bo‘lsin. U holda

Operator sonli tasviri uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham bo‘lsa, u holda

bo‘ladi, ya’ni

4-misol. Ushbu

operator sonli tasvirini hisoblang, bunda va lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Yechish. elementni olamiz,
.
U holda

Agar kabi belgilash olamiz, u holda bunda . Shu sababli

bo‘lganligi uchun

o‘rinli.
5-misol. Ushbu

operatorning sonli tasvirini hisoblang.
Yechish. Ixtiyoriy elementni olamiz, koordinatalari shartni qanoatlantirsin. belgilash kiritamiz. U holda

Endi kvadratik formani elementlar uchun qaraymiz:
.
Bu yerda . Agar deb belilash olsak, u holda va bo‘ladi. Shu sababli
.
Ko‘rinib turibdiki, burchak dan gacha o‘zgarmasa kvadratik forma markazi koordinata boshida radiusi bo‘lgan aylanani tasvirlaydi. U holda bunday aylanalarni bo‘yicha birlashmasi to‘plamni beradi.

ekanligini inobatga olgan holda to‘plam markazi koordinata boshida va radiusi ga teng doirani tavsiflashi kelib chiqadi, ya’ni

6-misol. Ushbu

operator sonli tasviri 5-misoldagi kabi hisoblanib,

kabi bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.
7-misol. O‘ngga siljitish operatori

ning sonli tasviri uchun

tenglik o‘rinli bo‘lishini ko‘rsating.
Ko‘rinib turibdiki, har bir uchun vektor fazoga tegishli va tenglik o‘rinli, ya’ni har bir soni operator uchun xos qiymati bo‘ladi va xos vektor ga teng bo‘ladi. 5– xossaga ko‘ra bo‘ladi. bo‘lganligi uchun 1-xossadan bo‘lishi kelib chiqadi. Shu sababli birlik aylananig birorta ham nuqtasi ga tegishli emasligini ko‘rsatish yetarli. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni moduli ga teng biror kompleks son ga yotsin. U holda shunday element topilib, va bo‘ladi. bo‘lgani uchun

o‘rinli. Bunda biz Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan foydalandik. Bunda tenglamani faqat qanoatlantiradi. Ikkinchi tomondan, shu sababli . Bu esa bo‘lishini ko‘rsatadi.
Gilbert fazosidagi chegaralangan o‘z – o‘ziga qo‘shma operator uchun
yoki
bo‘lishini aytish qiyin. Ushbu

operatorni qaraymiz. U holda

bo‘lishini oson tekshirish mumkin. tasdiqning isbotiga to‘xtalamiz. Teskarisini faraz qilamiz. Faraz qilaylik, bo‘lsin. U holda shunday topilb, va bo‘ladi. Shu sababli

o‘rinli. Bundan, kelib chiqadi. Bu esa ekanligiga zid. Demak, . Shu sababli bu holda

bo‘ladi.
8-misol. Quyidagi matritsaning sonli tasvirini hisoblang. .
matritsaning xos sonlarini topamiz. Buning uchun

xarakteristik tenglamani qaraymiz.
Hosil bo‘lgan tenglama yechimlarini topamiz:



.