Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss va Kramer usuli

Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss va Kramer usuli


Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss va Kramer usuli.
1.Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi


(1)

shart bajarilganda

(2)
echimlarga ega.

2. Bir jinsli uch noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasi

(3)

ushbu (4)

formulalar bilan aniqlanuvchi yechimlarga ega, bunda k - ixtiyoriy son.
3. Bir jinsli uch noma’lumli uchta tenlamalar sistemasi quyidagicha bo’ladi:

(5)
Uning determinanti bo’lsa , nolga teng bo’lmagan yechimlariga ega bo’ladi va aksincha.

4. Ikki noma’lumli uchta chiziqli tenglama sistemasi.

(6)

bo’lganda va uning hech qaysi ikkita tenglamasi o’zaro zid bo’lmasa, birgalikda bo’ladi.
5.Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi:


(7)
bo’lib, uning determinanti



noldan farqli bo’lganda yagona


(8)
echimga ega bo’ladi, bunda


(9)
6. Birgalikda bo’lmagan va aniqmas tenglamalar sistemasi.(7) tengla-malarning chap tomonlarini lar bilan belgilaylik, sistemaning determinanti bo’lsin. U holda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:
I. determinantning qandaydir ikkita satrining elementlari bir-biriga proportsional, masalan , u holda va
1) agar bo’lsa, sistema birgalikda emas(birinchi ikki tenglama bir -biriga zid);
2) agar bo’lsa, sistema aniq emas (agar birinchi va uchinchi tenglamalar bir-biriga zid bo’lmasa ).
II. determinantda proportsional elementlarga ega bo’lgan satrlar yo’q.
U holda nolga teng bo’lmagan va sonlar mavjudki, va
1) agar bo’lsa, sistema birgalikda emas;

2) agar bo’lsa , sistema aniqmas va sonlarni mulohazalar yordami bilan yoki , tenglamalardan topish mumkin.

Ushbu sistemani yeching.


5-misol.
Echish.



sistemaning determinanti bo’lganligi uchun (2) formulalar bilan aniqlanadigan yagona yechimga ega.




6- misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.


Echish. bu yerda





(8) formuladan quyidagilarni topamiz:



ta noma’lumli chiziqli ta tenglamalar sistemasini qaraymiz:


(10)
Bu sistema uchun tengliklarga o’xshash formulalar o’rinlidir.


(11)
bu yerda


(12)
sistemaning determinanti, esa – tartibli determinanti bo’lib, determinantdan noma’lum oldidagi koeffitsientlar ustunini ozod hadlar ustuni bilan almashtirishdan hosil bo’ladi. Agar sistemaning determinanti bo’lsa, u holda (11)tengliklardan sistemaning quyidagi yagona yechimini topamiz:



Bu formula ham Kramer formulalari deb ataladi.