D. K. Faddeyev Levere metodini shunday takomildashtirdiki natijada, berilgan matritsaniig xos koʻphadini topish bilav bir vaqtda unga teskari boʻlgan matritsani hamda matrisaning xos vektorlarini ham topish mumkin b

D. K. FADDEYeV METODI
D.K.Faddeyev Levere metodini shunday takomildashtirdiki natijada, berilgan matritsaniig xos koʻphadini topish bilav bir vaqtda unga teskari boʻlgan matritsani hamda matrisaning xos vektorlarini ham topish mumkin boʻladi.
Levere metodidagi matritsalar ketma-ketligi oʻrnidagi ushbu ketma-ketlikni D . K. Faddeyev quyidagicha aniqlaydi:

Bu yerda quyidagilarni isbotlaymiz:
a)
b) nol matritsa;
v) agar maxsusmas matritsa boʻlsa, u holda

Matematik induksiya metodi bilan avval a) ni isbotlaymiz. Ravshanki, . Endi faraz qilaylik, boʻlsin, u holda ekanligini koʻrsatamiz (6.1)dan va yuqoridagi farazdan quyidagini hosil qilamiz:

Demak,

Bu yerdan Nyuton formulalari (5.3) ga koʻra , yaʼni . Bu gsa birinchi tasdiqni isbotlaydi.
Ikkinchi tasdiqni isbotlash uchun Gamilton - Keli teoremasidan foydalanamiz:

Bu tenglikka koʻra (6. 1) dan esa
Demak,

Shu bilan uchinchi tasdiq ham isbotlandi. Yuqorida hosil qilingan tenglik kontrol vazifasini bajaradi, agar matritsa skalyar matritsadan qancha kam farq qilsa, hisoblash shuncha yaxshi olib borilgan boʻladi.
Misol. Quyidagi

Matrissaning xos ko’pxadini va ni topamiz.
Yechish. (6.1) formulaga ko’ra



demak, vo’lib,

va

Endi xos vektorlarni topish masalasini koʻraylik. Yuqorida aniqlangan matritsalardan foydalanib,

matritsani tuzamiz. Agar A matritsaning barcha xos sonlari bir-biridan farqli boʻlsa, u holda matritsalar nol matritsa emasligini koʻrsatish mumkin. Endi matritsaning har bir ustuni A matritsaning xos soniga mos keladigan xos vektordan iborat ekanligini koʻrsatamiz.
Haqiqatdan ham, va xos ko’phadning ildizi bo’lganligi uchun



ya’ni

bundan esa

Yoki

kelib chiqadi, bu yerda vektor matritsaning ixtiyoriy ustuni. Albatta, xos vektorni topish uchun matritsaning hamma ustunlarini emas, balki uning biror ustunini topish kifoyadir.
matritsaning ustunini quyidagi rekurrent formuladak aniqlash maʼquldir:
bu yerda matritsaning biror ustuni boʻlib, esa birlik mat- ritsaning shu nomerli ustunidir. Bu holda