Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va sohasi. Koshi-Adamar formulasi,darajali qatorlarning funksional xossalari

1-ta’rif. Yuqorida keltirilgan son darajali qatorning yaqinlashish radiusi, interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi.
Eslatma. 1)-holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb, 2)- holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb olinadi.
3⁰. Darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish. Biror

darajali qatorni qaraylik. Bu qator koeffisientlaridan tuzilgan ketma-ketlik uchun

1) da ,
2) mavjud bo’lsin. U holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi

bo’ladi.

◄Aytaylik, darajali qator uchun

bo’lsin. qaralayotgan darajali qatorda ni parametr hisoblab, Dalamber alomatiga ko’ra uni yaqinlashishga tekshiramiz:

Demak,
, ya’ni
bo’lganda qator yaqinlashuvchi bo’ladi,
, ya’ni
bo’lganda darajali qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bundan darajali qatorning yaqinlashish radiusi
(4)
bo’lishi kelib chiqadi.►
1-misol. Ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.

◄ Bu qator uchun

bo’ladi. Ravshanki,

.
Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi. ►
Ixtiyoriy darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlab beradigan teoremani isbotsiz keltiramiz.
2-teorema (Koshi-Adamar). Ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi

(5)
bo’ladi.[1]
Eslatma. Agar

bo’lsa, darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb,

bo’lsa, darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb olinadi.

2-misol. Ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.

◄ Avvalo

deb olamiz. Natijada berilgan qator quyidagi

ko’rinishga keladi. Bu qatorning yaqinlashish radiusi (5) formulaga ko’ra

bo’ladi. Demak, da qator yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi. Unda

, ya’ni da berilgan qator yaqinlashuvchi,
, ya’ni da uzoqlashuvchi bo’ladi. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi. ►
3-misol. Ushbu

darajali qatorning yaqinlashish to’plami topilsin.

◄ Ravshanki, , .
Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusini (4) formulaga ko’ra topamiz:
.
Darajali qator nuqtada ushbu sonli qatorga aylanadi va bu sonli qator uzoqlashuvchi bo’ladi. nuqtada esa quyidagi sonli qator hosil bo’ladi va bu qator Leybnis teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish to’plami dan iborat. ►