Darslarda ko‘phadlarni yechimini topishda Gorner sxemasidan foydalanish. Muattar Tuxtabayeva

Darslarda ko‘phadlarni yechimini topishda Gorner sxemasidan foydalanish.
Muattar Tuxtabayeva
Toshkent “Temurbeklar maktabi” matematika fani bosh o‘qituvchisi
Annotatsiya
Ushbu maqolada ta’lim jarayonida o‘quvchilarga ko‘phadlarni yechimini topishda va ko‘phadni karrali ildizlarini qidirishda Gorner sxemasidan foydalanish haqida tushunchalar beriladi. Bu sxemaning afzalliklari va qo‘llanish usullari ketma-ketligi misollar yordamida ko‘rsatib berilgan. Ko‘pincha o‘quvchilar bu sxemani to‘g‘ri qo‘llay olishmaganligidan ko‘phadning ildizlarini karralisini topaolishmaydi. Shu sababli bu yerda misollar yordamida Gorner sxemasi tushuntirib berildi.
Kalit so‘zlar: ko‘phad, ko‘phadning koeffisentlari, ko‘phadning ildizi, karrali ildizlar, Gorner sxemasi .
Gorner sxemasi - ko‘phadni karrali ildizlarini topishni qulay usuli.Faraz qilaylik bizga = + berilgan va uni x=a degan ildizi mavjud bo ‘lsin. Ko‘phadni a degan ildizi necha karrali ekanligini topish uchun ko‘phadni x-a ko‘phadga bo‘lishimiz kerak. Buni bo ‘lishda Gorner sxemasidan foydalanamiz. Buning uchun ko‘phad koeffisentlaridan foydalanib jadval tuzib olamiz. Jadvalning birinchi qatoriga ko‘phadning koeffisentlarini yozib chiqamiz. Ikkinchi qatorning birinchi elementi esao ‘sha yechim bo ‘lgan a soni bo‘ladi:
P n ( x )= +

						...
a

Jadvalning ikkinchi qatori asta-sekin to‘ldiriladi. Ushbu jadvalning ikkinchi elementi (uni b₀ deb belgilaymiz) a₀ ga teng, ya'ni aslida biz a₀ raqamini pastga siljitamiz:

					...
a

Ikkinchi qatorning keyingi elementi, biz b₁ deb belgilaymiz, quyidagi formula bo‘yicha olinadi: b₁=a⋅b₀+a₁

					...
a

b₂ elementini formulasiga muvofiq topamiz:

					...
a

elementini hisoblaymiz:

					...
a

b₄, b₅ va hokazolarni topamiz. Umuman olganda, i ≥1 bo‘lgan b i ni hisoblashning umumiy formulasi quyidagicha bo‘ladi:

					...
a

Oxir-oqibat, biz oxirgi elementni hisoblaymiz va bu ishning oxiri bo‘ladi. To‘ldirilgan jadval quyidagicha ko‘rinadi:

					...
a

P_n(x) n -darajali berilgan ko‘phadni (x–a) binomiga bo‘lgandan so‘ng, darajasi berilgan ko‘phaddan bir kam bo‘lgan ko‘phadni olamiz, ya’ni (n −1) ga teng. Ikkinchi qatorning oxirgi raqami, ya'ni b_n, P_n(x) ni (x – a) ga bo‘lishdan keyingi qoldiq:
P_n(x)= + =(x−a)⋅ +
Agar Bezu teoremasini eslasak, u holda uni shunday tushuntirishimiz ham mumkin: b_n soni x = a uchun P_n(x) ko‘phadining qiymatiga teng , ya’ni b_n =P_n(a).
Agar b_n=0 bo‘lsa, berilgan ko‘phad (x - a binomiga bo‘linadi, ya‘ni a soni bu ko‘phadning ildizidir. Gorner sxemasining to‘g'ridan-to‘g'ri qo‘llanilishini misollar bilan ko‘rsatib o‘tamiz.
№1 misol
5x ⁴ +5x³ + x² −11 ni Gorner sxemasidan foydalanib , x −1 ga bo‘ling.
Yechish:
Berilgan ko‘phadni P₄(x) deb belgilaymiz, ya'ni. P₄(x)=5x ⁴ +5x³ + x² −11. Birinchidan, ikkita qatorli jadval tuzamiz. Birinchi qatorga o‘zgaruvchining x o‘zgaruvchisi darajalarining kamayish tartibida joylashtirilgan P₄(x) ko‘phadning koeffitsientlarini yozamiz . E'tibor bering, bu ko‘phad birinchi darajaga x ni o‘z ichiga olmaydi , ya'ni x dan birinchi darajaga qadar koeffitsient 0 ga teng:
5⋅x⁴+5⋅x³+1⋅x²+0⋅x+(−11)
Biz x-1 ga bo‘layotganimiz uchun ikkinchi qatorning birinchi katagiga 1 raqamini yozamiz . Biz ishlayotgan jadval quyidagicha ko‘rinadi:

					-11
a=1

Keling, ikkinchi qatordagi bo‘sh kataklarni to‘ldirishni boshlaylik. Ikkinchi qatorning ikkinchi katakchasiga biz 5 raqamini yozamiz, shunchaki uni birinchi qatorning ikkinchi katagidan pastga siljitamiz:

					-11
a=1	5

Keyingi katakchani quyidagi tarzda to‘ldiring: 1 ⋅ 5 + 5 = 10 :

					-11
a=1	5	1 ⋅ 5 + 5 = 10

Xuddi shunday, ikkinchi qatorning to‘rtinchi katakchasini to‘ldiring: 1⋅10 + 1=11

					-11
a=1	5	1⋅5+5=10	1⋅10+1=11

Beshinchi katak uchun biz quyidagilarni olamiz: 1⋅11+0=11

					-11
a=1	5	1⋅5+5=10	1⋅10+1=11	1⋅11+0=11

Va nihoyat, oxirgi oltinchi katak uchun bizda: 1⋅11+(−11)=0

					-11
a=1	5	1⋅5+5=10	1⋅10+1=11	1⋅11+0=11	1⋅11+(−11)=0

Ikkinchi qatordagi raqamlar (bir va nol oralig‘ida) P(x) ni x -1 ga bo‘lingandan so‘ng olingan ko‘phadning koeffitsientlari. Ikkinchi qatordagi (nol) oxirgi raqam P(x) ko‘phadining x -1 ga bo‘lgandagi qoldig'idir. Qolganlari nolga teng, ya‘ni P(x) ko‘phad (x -1) ga qoldiqsiz bo‘linadi.

5⋅x⁴+5⋅x³+1⋅x²+0⋅x+(−11)=(x-1)(5⋅x³+10⋅x²+11⋅x+11).
Tabiiyki, dastlabki ko‘phadning darajasi P(x) to‘rtga teng bo‘lganligi sababli, 5⋅x³+10⋅x²+11⋅x+11 ko‘phadning darajasi bitta kam, ya‘ni uchga teng.
Bir tomondan olingan natijani ham quyidagicha tavsiflash mumkin: x = 1 uchun P(x) ko‘phadning qiymati nolga teng. P(x) ko‘phadning x =1 da qiymati nolga teng bo‘lganligi sababli,bu qiymat P(x) ko‘phadning ildizi hisoblanadi.
Javob : (x-1)(5⋅x³+10⋅x²+11⋅x+11).
№2 misol
ko‘phadni Gorner sxemasi bo‘yicha x +3 ga bo‘ling.
Yechish:
Berilgan ko‘phadni P( x) deb belgilaymiz, ya‘ni P(x)= . Biz darhol x +3 ifodani x − (−3) ko‘rinishda ifodalab olamiz. Bu Gorner sxemasida a=−3 bo‘lib ishtirok etadi. 1-misoldagiga o‘xshash hisoblashlarni amalga oshiramiz:

	1	3	4	-5	-47
a=-3	1	1⋅(-3)+3 = 0	-3⋅(0)+4=4	-3⋅4+(-5)=-17	-3⋅(-17)+(-47)=4

Dastlabki ko‘phadning darajasi P(x) to‘rtga teng bo‘lganligi sababli, bo‘linish natijasida uchinchi darajali ko‘phadni olamiz.
P(x)=( x + 3) ( )+4=( x +3)( ) +4
Olingan natijalardan ko‘rinib turibdiki P(x) ko‘phad (x+3) ga qoldiqsiz bo‘linmaydi. P(x) ni (x +3) ga bo‘lgandagi qoldiq 4 ga teng. Xuddi shu natija x=-3 uchun P(x) ko‘phadning qiymati 4 ga teng ekanligini anglatadi, ya’ni P(-3)=4. Aytgancha, berilgan ko‘phadga x=-3 ni to‘g'ridan-to‘g'ri qo‘yib hisoblash orqali buni tekshirib ko ‘rish mumkin.
x⁴ +3x³ +4x² −5x −47 =(−3)⁴ +3⋅(−3)³−5⋅(−3)− 47=4.
Agar o‘zgaruvchining qiymati berilib, ko‘phadning qiymatini topish zarur bo‘lsa, Gorner sxemasidan ham foydalanish mumkin.
Javob : x⁴+3x³+4x²−5x−47=(x+3)(x³+4x−17)+4.
Agar bizning maqsadimiz ko‘phadning barcha ildizlarini topish bo‘lsa, unda Gorner sxemasi 3-misolda ko‘rib chiqilganidek, barcha ildizlarni topmagunimizcha ketma-ket bir necha marta qo‘llanilishimiz mumkin.
№3 misol
ko‘phadning barcha butun ildizlarini Gorner sxemasidan foydalanib toping.
Yechish:
Ko‘phadni bitta yechimini topib olamiz. x=-1 ko‘phadni yechimi bo‘ladi. Buni ko‘phadda x ni o‘rniga -1 ni qo‘yib hisoblaganimizda natija nol chiqishidan ko‘rishimiz mumkin. Berilgan ko‘phadni P(x) deb belgilaymiz, ya’ni
P(x)= . Ko‘rib chiqilayotgan ko‘phadning koeffitsientlari butun sonlar bo‘lib, o‘zgaruvchining eng yuqori darajasi oldidagi koeffitsient (ya‘ni x⁶ ning oldida ) birga teng. Bunday holda, ko‘phadning butun ildizlarini ozod hadning bo‘luvchilari orasidan izlash kerak, ya‘ni 45 sonining bo‘luvchilari orasida. Berilgan ko‘phad uchun bunday ildizlar 45;15;9;5;3;1 va - 45; - 15; -9; -5; -3; -1 sonlari bo‘lishi mumkin. Masalan, 1 raqamini tekshiramiz:

	1	2	-21	-20	71	114	45
1	1	3	-18	-38	33	147	192

Ko‘rib turganingizdek, x =1 uchun P (x) ko‘phadning qiymati 0 emas, 192 (ikkinchi qatordagi oxirgi raqam), shuning uchun bir bu ko‘phadning ildizi emas. Endi biz biz x = -1 qiymati bu ko‘phadni yechimi bolishligini tekshiramiz. Biz yangi jadval tuzmaymiz, lekin jadvaldan foydalanishda davom etamiz. Unga yangi (uchinchi) qatorni qo‘shish 1 qiymati tekshirilgan ikkinchi qator qizil rang bilan ta‘kidlanadi va keyingi hisoblashda foydalanilmaydi.
Siz, albatta, jadvalni yana qayta yozishingiz mumkin, ammo qo‘lda to‘ldirishda bu juda ko‘p vaqtni oladi. Bundan tashqari, bir nechta raqamlar bo‘lishi mumkin, ularni tekshirish muvaffaqiyatsiz tugadi va har safar yangi jadval yozish qiyin. "Qog‘ozda" hisoblashda qizil chiziqlarni shunchaki kesib tashlash mumkin.

	1	2	-21	-20	71	114	45
1	1	3	-18	-38	33	147	192
-1	1	1	-22	2	69	45	0

x = -1 uchun P(x) ko‘phadining qiymati nolga teng, ya‘ni P(-1)=0. Bu −1 soni P(x) ko‘phadning ildizi ekanligini bildiradi. P(x) ko‘phadni x−(−1)=x+1 binomiga bo‘lgach, koeffitsientlari bo‘lgan x⁵ + x⁴ −22x³ +2x² +69x+45 ko‘phadni yozib olamiz. Hisoblash natijasi quyidagi shaklda ham taqdim etilishi mumkin:
P(x)=(x+1)(x⁵+x⁴ −22x³+2x²+69x+45) (1)
Keling, butun son ildizlarini qidirishni davom ettiramiz. Endi biz x⁵+x⁴−22x³ +2x² +69x+45 ko‘phadning ildizlarini izlashimiz kerak. Yana bu ko‘phadning butun ildizlari uning ozod hadi 45 sonining bo‘luvchilari orasidan izlanadi. Keling, -1 sonini yana tekshirishga harakat qilaylik. Biz yangi jadval tuzmaymiz, lekin avvalgi jadvaldan foydalanishda davom etamiz ya’ni , unga yana bir qator qo‘shamiz:

	1	2	-21	-20	71	114	45
1	1	3	-18	-38	33	147	192
-1	1	1	-22	2	69	45	0
-1	1	0	-22	24	45	0

Demak, −1 soni x⁵ + x⁴ −22x³ +2x² +69x+45 ko‘phadning ildizidir. Bu natijani quyidagicha yozish mumkin:

x⁵+x⁴−22x³+2x²+69x+45=(x+1)(x⁴−22x²+24x+45) (2)
Tenglikni (2) hisobga olgan holda, tenglikni (1) quyidagi shaklda qayta yozish mumkin:
P(x)=(x+1)(x⁵+x⁴−22x³+2x²+69x+45)=(x+1)(x+1)(x⁴−22x²+24x+45)=
(x+1)²(x⁴−22x²+24x+45) (3)
x⁴−22x²+24x+45 ko‘phadning ildizlarini izlashni davom ettiramiz, tabiiyki, -1 soni uning ozod hadi (45 raqami) bo‘luvchilaridan biridir. −1 sonini yana bir bor yechim bo‘ladimi yoqmi tekshiramiz:

	1	2	-21	-20	71	114	45
1	1	3	-18	-38	33	147	192
-1	1	1	-22	2	69	45	0
-1	1	0	-22	24	45	0
-1	1	-1	-21	45	0

x=−1 soni x⁴−22x²+24x+45 ko‘phadning ildizi ekan. Bu natijani quyidagicha yozish mumkin:
x⁴−22x²+24x+45 =(x+1)(x³–x²−21x+45) (4)
Tenglikni (4) hisobga olib, tenglikni (3) quyidagi shaklda qayta yozamiz:
P(x)=(x+1)²(x⁴−22x²+24x+45)=(x+1)²(x+1)(x³–x²−21x+45)=(x+1)³(x³–x²−21x+45)
x³–x²−21x+45 ko‘phadning ildizlarini qidiramiz. −1 sonini yana bir bor yechimga tekshiramiz :

	1	2	-21	-20	71	114	45
1	1	3	-18	-38	33	147	192
-1	1	1	-22	2	69	45	0
-1	1	0	-22	24	45	0
-1	1	-1	-21	45	0
-1	1	-2	-19	64

Tekshiruv muvaffaqiyatsiz yakunlandi. Oltinchi qatorni qizil rang bilan belgilang va boshqa raqamni tekshirishga harakat qiling, masalan, 3 raqami :

	1	2	-21	-20	71	114	45
1	1	3	-18	-38	33	147	192
-1	1	1	-22	2	69	45	0
-1	1	0	-22	24	45	0
-1	1	-1	-21	45	0
-1	1	-2	-19	64
3	1	2	-15	0

Qoldiq nolga teng, shuning uchun 3 raqami ko‘rib chiqilayotgan ko‘phadning ildizidir. Shunday qilib, x³–x²−21x+45=(x−3)(x²+2x−15) ga teng bo‘ladi.

Endi tenglikni quyidagicha qayta yozish mumkin:
P ( x )=( x +1)³( x³– x²−21x+45)=(x+1) 3 (x−3) (x² +2x−15 ) (6)


3 sonini yechimga yana bir bor tekshirib ko‘ramiz:

-1	1	-2	-19	64
3	1	2	-15	0
3	1	5	0

Olingan natijani quyidagicha yozish mumkin:

P(x)=(x+1)³(x−3)(x²+2x−15)=(x+1)³(x−3)(x−3)(x +5)=(x +1)³(x−3)²(x +5) (7)
Oxirgi qavsdan ko‘rinib turibdiki, −5 soni ham ushbu ko‘phadning ildizi hisoblanadi. Albatta, x=-5 qiymatini tekshirish orqali Gorner sxemasini rasman davom ettirish mumkin , ammo bu shart emas. Shunday qilib,
P ( x )=( x +1)³( x − 3)( x² +2x−15)= (x +1)³(x−3)²(x +5)
−1 , 3 , −5 raqamlari bu ko‘phadning ildizlaridir. Bundan tashqari, (x +1) uchinchi darajali bo‘lganligi sababli, -1 uch karrali ildizdir; (x-3) ikkinchi darajali bo‘lgani uchun, 3 ikki karrali ildiz; (x+5) birinchi darajali bo‘lgani uchun, x = -5 birinchi darajali ildiz (oddiy ildiz) bo‘ladi.
P ( x)= (x +1)³(x−3)²(x +5)
Javob : -1 , 3 , -5 .
4-misol
2 va -5 raqamlari 3x⁶+9x⁵-28x⁴+6x³-30x²-30x+100 ko‘phadning ildizlari ekanligiga ishonch hosil qiling. Berilgan ko‘phadni x −2 va x +5 ko‘paytuvchilariga ajrating.
Yechish:
Avvalgidek, qulaylik uchun berilgan ko‘phadni P(x) deb belgilaymiz, ya’ni
P(x)= 3x⁶+9x⁵-28x⁴+6x³-30x²-30x+100
P(x) ko‘phadning darajasi 6 ga teng. Berilgan ikkita ko‘phadga bo‘lingandan so‘ng, berilgan ko‘phadning darajasi 2 ga kamayadi, ya’ni ko‘phadning darajasi 4 ga teng bo‘ladi.

	3	9	-28	6	-30	-30	100
2	3	15	2	10	-10	-50	0
-5	3	0	2	0	-10	0

P(x)=(x−2)⋅(x−(−5))⋅(3x⁴+0⋅x³+ 2⋅x²+0⋅x+(−10))=(x−2)(x+5)(3x⁴+2x²−10)
Xulosa qilib aytganimizda bu yerda ko‘proq tanlash usuli bilan yechimini topib olayapmiz, agar ildizlar butun son bo‘lmasa, umumiy holatda samarasiz, lekin butun sonlar uchun bu Gorner sxemasidan foydalanish juda qulaydir.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Abduhamidov A.U., Nasimov X.A. “Algebra va matematik analiz asoslari”. I qism. Akademik litseylar uchun darslik. – T., 2008 y.
2. Mirzaaxmedov M.A., Ismoilov Sh.N., Amanov A.Q. Algebra va analiz asoslari, 10-sinf darslik. -T.:2018
3. Algebra va analiz asoslari. O’rta maktabning 10-11 sinflari uchun darslik. (Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolagin va boshqalar ).-T.:”O’qituvchi”,1996 y.
4. Matematikadan qo’lanma. Maktab o’qituvchilari uchun qo’llanma. I qism. (T.A.Azlarov, M.A.Sobirov, M.A.Mirzaahmedov va boshqalar).T.A.Azlarov tahr.ostida.- T.: “O’qituvchi”,1990.-352 b..