Дифференциальные уравнения n-ого порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка.

1. 
   Пусть дано уравнение . (8)
   

Подстановка .
Если уравнение (8) можно разрешить относительно старшей производной, то уравнение два раза интегрируется по переменной x.
Можно ввести параметр и заменить уравнение (8) его параметрическим представлением: . Воспользовавшись соотношением для дифференциалов: , получаем: и


II . (9)

Воспользуемся параметрическим представлением:

III. . (10)

Понизить порядок можно заменой: .

Если уравнение (10) разрешимо относительно старшей производной , то помножим правую и левую часть на . Получим: .Это уравнение с разделяющимися переменными: .
Можно уравнение (10) заменить его параметрическим представлением: . Воспользуемся свойствами дифференциала: .


Пример. .
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.


Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида: . (1)
Если коэффициенты непрерывны на , то в окрестности любых начальных значений вида: , где принадлежит интервалу, то в окрестности этих начальных значений удовлетворяются условия теоремы о существовании и единственности. Линейность и однородность уравнения (1) сохраняется при любом преобразовании , где - произвольная n раз дифференцируемая функция. Причем . Линейность и однородность сохраняется при линейном и однородном преобразовании неизвестной функции .
Введем линейный дифференциальный оператор: , тогда (1) можно записать так: . Определитель Вронского для будет иметь вид:
, где - линейно независимые решения уравнения (1).
Теорема 1. Если линейно независимые функции - это решение линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на коэффициентами , то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке отрезка .
( доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений)


Теорема 2. Общим решением линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на коэффициентами будет линейная комбинация решений , то есть (2), где линейно независимые на отрезке частные решения (1).
( доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений)