Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

4-§.Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi

1. e^x funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=e^x funksiyaning (∞;+_∞) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f^(k)(x)=e^x, k=1, 2, ..., n+1.
Bundan x=0 da f^(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f⁽ⁿ⁺¹⁾(_θx)=e^θx va f(0)=1 hosil bo‘ladi.
Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo‘yib
е^х =1+ ^х ₊ ^х2 ₊ ...+ ^хn ₊ ^хn+1 e^θx (4.1)
1! 2! n! ( n +1)!
bu erda 0<θ<1, formulaga ega bo‘lamiz.
23-rasmda f( x)= e^x funksiya va P₃(x) ko‘phad funksiyaning grafiklari keltirilgan.
Agar x=1 bo‘lsa,
е ₌1₊ ¹ ₊ ² ₊ ...₊ ¹ ₊ ^еθ (4.2)
1! 2! n! ( n +1)!

formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.

23-rasm
Haqiqatan ham, faraz qilaylik, _{е =} ^p - ratsional son bo‘lsin. Bunda e>1 q
bo‘lganligi uchun p>q bo‘ladi. (4.2) da _{е =} ^p desak, q
qp = 2+ 21! + 31! + .....+ n1! + ( n 1 qpθ

+1)! 

Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko‘paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
q^p n!−( 2⋅n!+ 2¹! ⋅n!+ 3¹! ⋅n!+...+1) = n¹ 1_^q^p_^_^θ (4.3)

+ 

Bu erda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda _θ<1, p>q bo‘lganligi uchun
0 < ^{1 }_q^p_^_^θ < n¹₊1q^p ≤ n^p₊1 <1 (4.4) n ₊1_
bo‘ladi. Shuningdek, n>p>q bo‘lganligi uchun ^p n! -butun son, chunki n! da q q
ga teng bo‘lgan ko‘paytuvchi uchraydi.

Ravshanki,

ko‘rinishdagi yig‘indi ham butun son bo‘ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o‘ng tomoni esa (4.4) ga ko‘ra birdan kichik musbat son bo‘ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo‘ladi.


2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila
uchun quyidagi formula o‘rinli edi (I.8-§): f ^{( n )}( x ) ₌ sin( x ₊ ^nπ ). x=0 da
2 f(0)=0 va

f ( n )( 0 ) = sin nπ = 0, agarк n = 2k,

2 _( −1) , agar n = 2к +1
Shuning uchun (3.10) formulaga ko‘ra

sin x = x − x3 + ...+( −1)k x2k+1 + x2k+2 sin(θx +( k +1)π), 0 <θ<1 (4.5)

3! ( 2k +1)! ( 2k + 2 )!

ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘lamiz.

24-rasm
24-rasmda f(x)=sinx, P₃(x), P₅(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.

3. 
   
   Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi.
   

Ma’lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun f ^{( n )}( x ) ₌ cos( x ₊ ^nπ ) formulaga egamiz (I.8-§). 2

x=0 da f(0)=1 va f ( n )(0 ) = cos n2π = _(0−, 1)agark , agarn = 2nk =+21,k

Demak, sosx funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli:

сosx =1− x² ₊ x⁴ ₋ x⁶ ₊...+(−1)^k x^2k ₊ x^2k+2 cos(θx + kπ₊^π ), 0<θ<1 (4.6)

2! 4! 6! 2k! (2k +1)! 2



25-rasm
25-rasmda f(x)=cosx, P₂(x), P₄(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.

3.