Differentsial tenglamalarning amaliy masalalar yechishga tadbiqlari

DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNING AMALIY MASALALAR YECHISHGA TADBIQLARI
REJA

1. 
   Differentsial tenglamalarning amaliy masalalar yechishga tadbiqlari
   
2. 
   Tenglamani qatorlar yordamida yechish usuli.
   
3. 
   Besselp tenglamasi.
   

Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish uchun baozi tushunchalarni kiritamiz.

f(x) funksiya x₀ nuqtada golomorf deyiladi, agar x₀ nuqtani biror |x-x₀|< atrofida darajali qatorga yoyish mumkin bo‘lsa.
x₀ nuqta oddiy nuqta deyiladi, agar tenglamani koeffitsientlari shu nuqtada golomorf bo‘lsa, aks holda x₀ nuqta maxsus nuqta deyiladi.
Bizga
(1)
tenglama berilgan bo‘lsin. Bunda p(x) va q(x) funksiyalar x=x₀ nuqtada golomorf bo‘lsin, yaoni

yoki x₀=0 bo‘lsa,
. (2)
(2)ni (1)ga qo‘yamiz.
(3)
(3)ning yechimini
(4)
ko‘rinishda qidiramiz. (4)ni (3) ga qo‘yamiz

yoki yig‘indini bir xil ko‘rinishga keltirib,

tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda

formuladan foydalanib, quyidagi tenglikni olamiz.

ni oldidagi koeffitsientlarni nolga tenglab,

formulani hosil qilamiz.
k=0,1,2,… qiymatlari uchun

Bu sistemadan c_k koeffitsientlarni topamiz. Demak, 2-tartibli tenglamaning yechimini ixtiyoriy boshlang‘ich shart va uning hosilasi yordamida ko‘rish mumkin. Bu usulni nomaolum koeffitsientlar usuli deyiladi.
Besselp tenglamasini o‘zgarmas koeffitsientga keltiriladigan tenglamalar sinfida qaralgan edi, yaoni
(5)
yoki
bo‘lib x=0 nuqta maxsus nuqta bo‘ladi.
(5)ning yechimini
(6)
umumlashgan darajali qator ko‘rinishida qidiramiz.
(6)ni (5)ga qo‘yamiz

Bu ifodani ga qisqartiramiz va soddalashtiramiz

x^k ni mos tartibi oldidagi koeffitsientlarni nolga tenglaymiz
(7)
ildiz uchun, (7)dan

yoki
(8)
Shunday qilib, c₁=0 va barcha k lar uchun c_2k+1=0
(8)dan k=1,2,… qiymatlar uchun c₂,c₄,c₆,…,c_2k koeffitsientlarni topamiz.
Bu qiymatlari (6)ga qo‘yib va =n deb,

Besselp tenglamasining yechimini ifodalaymiz. Xuddi shunday = -n uchun ham yechimni ko‘rish mumkin .
Bunda c₀ koeffitsientni ko‘rinishda olib, gamma funksiya xossalaridan foydalanib Besselp tenglamasining xususiy yechimini

topamiz.
Xuddi shunday =-n uchun

ikkinchi xususiy yechimni olib, Besselp tenglamasining umumiy yechimini

ko‘rinishda, 0<x<, |y|<, soha uchun hosil qilamiz.
Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda echimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan echimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi. Masalan, ketma – ket differentsiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakab integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni echishda echimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish qulay bo`ladi. Differenuial tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda echimlar jadval ko`rinishida olinadi. Amaliy masalalarni echishda ko`p qo`llaniladigan eyler va Runge – Kutta usullarini ko`rib chiqamiz.