Diofant tenglamalarni yechish
Download 1.1 Mb. Pdf ko'rish
|
SOLVE THE DIOPHANTES EQUATIONS
- Bu sahifa navigatsiya:
- T.T.Ibaydullayev, A.L.Abdulvoxidov
- Ключевые слова
- Scientific Bulletin. Physical and Mathematical Research, 2020, №1(3)
- Илмий хабарнома. Физика-математика тадқиқотлари, 2020, №1(3)
- Isboti
- 2-misol.
|
62 Илмий хабарнома. Физика-математика тадқиқотлари, 2020, №1(3)
УДК 519.624 DIOFANT TENGLAMALARNI YECHISH T.T.Ibaydullayev, A.L.Abdulvoxidov Maqolada chiziqli va nochiziqli algebraik tenglamalarni butun sonlarda yechish usullari bayon qilingan. Ikki noma’lumli chiziqli tengamalarni yechishning bo`linish nazariyasidagi munosib kasrlarga bog`liq yechish usullari muayyan misollar vositasida keltirilgan. Yuqori darajali aniqmas tenglamalarni yechishda qisqa ko`paytirish formulalari, qoldiqlar nazariyasi hamda mantiqiy fikrlar yuritish asosiy usul qilib olingan. qiziquvchilarga mustaqil yechish uchun ko`p sondagi misollar tavsiya etilgan. Kalit so`zlar: diofant tenglamalari, butun yechim, bo`linish nazariyasi, qoldiqlar nazariyasi, munosib kasrlar, Evklid algoritmi.
остатков, эквивалентные дроби, Евклидов алгоритм. Kirish. Ushbu maqola fizika-matematika fakulteti matematika yo`nalishi iqtidorli talabalari fan to`garaklarida diofant tenglamalarni yechish bo`yicha qilingan ma`ruzalar asosida tayyorlandi. Agar tenglamalar sistemasida ishtirok etayotgan noma`lumlar soni tenglamalar sonidan ortiq bo`lsa, bunday tenglamalar Diofant tenglamalari yoki aniqmas tenglamalar deyiladi. Xususiy holda 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 8, 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 = 12,
𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 2 − 3𝑥𝑥 + 5 = 0, 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦
3 = 𝑧𝑧
3 , …
ko`rinishidagi tenglamalar aniqmas tenglamalardir. Ko`plab qo`llanmalarda [1-10] aniqmas tenglama yoki tenglamalar sistemasining yechimini butun sonlarda topishga doir misollar ko`p uchraydi. Yuqori darajali aniqmas tenglamalarni yechishda aniq bir matematik usulni taklif etish qiyin, ammo bunday masalalarni yechishda qisqa ko`paytirish formulalari, qoldiqlar nazariyasi hamda mantiqiy fikrlar yuritish asosiy vosita bo`lib xizmat qiladi. Ammo ikki noma`lumli 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 ko`rinishdagi tengamalarni yechishning bo`linish nazariyasida munosib kasrlarga bog`liq yechish formulalari mavjud. Biz dastlab bu ko`rinishdagi tenglamalarni butun sonlarda yechishning bo`linish nazariyasiga asoslangan asosiy xususiyatlarini, yechish formulalarini keltiramiz va nihoyat munosib kasrlar orqali yechishni misollar vositasida bayon etamiz. Keyingi qadamda yuqori darajali aniqmas tenglamalarni yechishga oid namunalar keltiramiz.
etamiz.
1-teorema: Agar ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 > 1 bo`lib, с (⋮) 𝑑𝑑 bo`lsa, u holda
𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 (1) tenglama butun sonlarda yechimga ega emas. Eslatma: “ ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 ” belgi 𝑑𝑑 soni 𝑎𝑎 va 𝑏𝑏 sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisi; “с ⋮ 𝑑𝑑 ” belgi с soni d ga qoldiqsiz bo`linadi; с (⋮) 𝑑𝑑 esa 𝑐𝑐 soni 𝑑𝑑 ga qoldiqsiz bo`linmasligini bildiradi. Isboti: Agar (𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) juftlik (1) tenglamaning butun yechimi bo`lsa, ya`ni 𝑎𝑎𝑥𝑥 0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
0 = 𝑐𝑐 bo`lsa, u holda ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 > 1 bo`lgani uchun tenglikning chap qismi 𝑑𝑑 ga bo`lindi, ammo с (⋮) 𝑑𝑑 bo`lgani uchun tenglik o`rinli emas. 2-teorema: Agar (1) tenglamada ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 > 1 bo`lib, с ⋮ 𝑑𝑑 bo`lsa, u holda (1) tenglama
𝑎𝑎𝑥𝑥 1 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
1 = 𝑐𝑐
1 (2)
tenglamaga teng kuchli, bu yerda ( 𝑎𝑎 1 , 𝑏𝑏 1 ) = 1.
3-teorema: Agar ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 bo`lsa, u holda
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 (3) tenglamani qanoatlantiruvchi x va y butun sonlar mavjud. Isboti: Qoldiqli bo`lishning Evklid algoritmiga ko`ra
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑞𝑞 1 + 𝑟𝑟
1 , 0 ≤ 𝑟𝑟 1
𝑏𝑏 = 𝑟𝑟
1 𝑞𝑞 2 + 𝑟𝑟 2 , 0 ≤ 𝑟𝑟 2 < 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 1 = 𝑟𝑟 2 𝑞𝑞 3 + 𝑟𝑟 3, 0 ≤ 𝑟𝑟 3 < 𝑟𝑟 2 , ……………………………………………… (4) 𝑟𝑟
𝑛𝑛−2 = 𝑟𝑟
𝑛𝑛−1 𝑞𝑞 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 𝑛𝑛 , 0 ≤ 𝑟𝑟 𝑛𝑛 < 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1
𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 = 𝑟𝑟 𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛+1 + 0.
(4) tengliklardan quyidan yuqoriga qarab nazar tashlasak,
𝑟𝑟
= (𝑞𝑞 𝑛𝑛+1
, 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1
)=( 𝑟𝑟 𝑛𝑛 , 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 )= 𝑟𝑟
𝑛𝑛−1 , 𝑟𝑟
𝑛𝑛−2 ) = ⋯ … . = (𝑟𝑟 3 , 𝑟𝑟
2 ) = ( 𝑟𝑟 1 , 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ekanligini ko`ramiz. Agarda (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑑𝑑 deb olsak, u holda (4) tengliklarda yuqoridan quyiga qarab nazar tashlasak,
𝑟𝑟 1 ⋮ 𝑑𝑑 ⇒ 𝑟𝑟 2 ⋮ 𝑑𝑑 ⇒ 𝑟𝑟 3 ⋮ 𝑑𝑑 ⇒ ⋯ ⇒ 𝑟𝑟 𝑛𝑛 ⋮ 𝑑𝑑
ekanligini ko`ramiz. Demak, 𝑟𝑟 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 bo`lib, ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 bo`lgani uchun 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 tenglamani qanoatlantiruvchi 𝑎𝑎 va 𝑏𝑏 sonlar mavjudligi (4)dan kelib chiqadi. Haqiqatan ham:
𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 𝑛𝑛 = 𝑟𝑟
𝑛𝑛 − 2 − 𝑟𝑟
𝑛𝑛 − 1 𝑞𝑞
𝑛𝑛 − 1 == 𝑟𝑟 𝑛𝑛 − 2 − (𝑟𝑟 𝑛𝑛 − 3 − 𝑟𝑟
𝑛𝑛 − 2 𝑞𝑞
𝑛𝑛 − 2) ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 = ⋯ … . . = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏. 1-misol. 1232 va 1672 sonlarining eng katta umumiy bo`luvchisini berilgan sonlar orqali chiziqli ifodalang. Yechish: 1672 = 1232 ∙ 1 + 440, 1232 = 440 ∙ 2 + 352, 440 = 352 ∙ 1 + 88, 352 = 88 ∙ 4 + 0 tengliklardan 88 = 440 − 352 ∙ 1 = 440 − (1232 − 440 ∙ 2) ∙ 1 = 440 ∙ 3 − 1232 ∙ 1 = (1672 − 1232 ∙ 1) ∙ 3 − 1232 ∙ 1 = 1672 ∙ 3 − 1232 ∙ 4 = 1672 ∙ 3 + 1232 ∙ (−4). Demak, 1672 ∙ 3 + 1232 ∙ (−4) = 88.
Bundan 𝑎𝑎 0 = 3, 𝑏𝑏
0 = −4 sonlar 1672𝑎𝑎 + 1232𝑏𝑏 = 88 tenglama yechimlari ekanligi ayon bo`ladi. 4-teorema: Agar (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1 bo`lsa, u holda
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1 (5) tenglama hech bo`lmaganda bitta yechimga ega. 5-teorema: Agar (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1 bo`lib, (𝑎𝑎 0 , 𝑏𝑏 0 ) juftliklar (1) tenglamani qanoatlantirsa, u holda bu tenglamaning barcha yechimlarini
𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 0 + 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 0 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 (6) formula bilan berish mumkin, bu yerda t- ixtiyoriy butun son. Isboti: (1) tenglama va (𝑎𝑎 0 , 𝑏𝑏 0 ) uning yechimiga ko`ra,
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 0 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
0 = 𝑐𝑐
tenglamani yozamiz. Bundan 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 0 ) + 𝑏𝑏(𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 0 ) = 0 yoki 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎
0 = −
𝑏𝑏 𝑎𝑎 (𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 0 ).
Buning chap tomoni butun son bo`lgani uchun o`ng tomoni ham butun son bo`lishi lozim. МАТЕМАТИКА
63 Scientific Bulletin. Physical and Mathematical Research, 2020, №1(3)
УДК 519.624 DIOFANT TENGLAMALARNI YECHISH T.T.Ibaydullayev, A.L.Abdulvoxidov Maqolada chiziqli va nochiziqli algebraik tenglamalarni butun sonlarda yechish usullari bayon qilingan. Ikki noma’lumli chiziqli tengamalarni yechishning bo`linish nazariyasidagi munosib kasrlarga bog`liq yechish usullari muayyan misollar vositasida keltirilgan. Yuqori darajali aniqmas tenglamalarni yechishda qisqa ko`paytirish formulalari, qoldiqlar nazariyasi hamda mantiqiy fikrlar yuritish asosiy usul qilib olingan. qiziquvchilarga mustaqil yechish uchun ko`p sondagi misollar tavsiya etilgan. Kalit so`zlar: diofant tenglamalari, butun yechim, bo`linish nazariyasi, qoldiqlar nazariyasi, munosib kasrlar, Evklid algoritmi.
остатков, эквивалентные дроби, Евклидов алгоритм. Kirish. Ushbu maqola fizika-matematika fakulteti matematika yo`nalishi iqtidorli talabalari fan to`garaklarida diofant tenglamalarni yechish bo`yicha qilingan ma`ruzalar asosida tayyorlandi. Agar tenglamalar sistemasida ishtirok etayotgan noma`lumlar soni tenglamalar sonidan ortiq bo`lsa, bunday tenglamalar Diofant tenglamalari yoki aniqmas tenglamalar deyiladi. Xususiy holda 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 8, 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 = 12,
𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 2 − 3𝑥𝑥 + 5 = 0, 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦
3 = 𝑧𝑧
3 , …
ko`rinishidagi tenglamalar aniqmas tenglamalardir. Ko`plab qo`llanmalarda [1-10] aniqmas tenglama yoki tenglamalar sistemasining yechimini butun sonlarda topishga doir misollar ko`p uchraydi. Yuqori darajali aniqmas tenglamalarni yechishda aniq bir matematik usulni taklif etish qiyin, ammo bunday masalalarni yechishda qisqa ko`paytirish formulalari, qoldiqlar nazariyasi hamda mantiqiy fikrlar yuritish asosiy vosita bo`lib xizmat qiladi. Ammo ikki noma`lumli 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 ko`rinishdagi tengamalarni yechishning bo`linish nazariyasida munosib kasrlarga bog`liq yechish formulalari mavjud. Biz dastlab bu ko`rinishdagi tenglamalarni butun sonlarda yechishning bo`linish nazariyasiga asoslangan asosiy xususiyatlarini, yechish formulalarini keltiramiz va nihoyat munosib kasrlar orqali yechishni misollar vositasida bayon etamiz. Keyingi qadamda yuqori darajali aniqmas tenglamalarni yechishga oid namunalar keltiramiz.
etamiz.
1-teorema: Agar ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 > 1 bo`lib, с (⋮) 𝑑𝑑 bo`lsa, u holda
𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 (1) tenglama butun sonlarda yechimga ega emas. Eslatma: “ ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 ” belgi 𝑑𝑑 soni 𝑎𝑎 va 𝑏𝑏 sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisi; “с ⋮ 𝑑𝑑 ” belgi с soni d ga qoldiqsiz bo`linadi; с (⋮) 𝑑𝑑 esa 𝑐𝑐 soni 𝑑𝑑 ga qoldiqsiz bo`linmasligini bildiradi. Isboti: Agar (𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) juftlik (1) tenglamaning butun yechimi bo`lsa, ya`ni 𝑎𝑎𝑥𝑥 0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
0 = 𝑐𝑐 bo`lsa, u holda ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 > 1 bo`lgani uchun tenglikning chap qismi 𝑑𝑑 ga bo`lindi, ammo с (⋮) 𝑑𝑑 bo`lgani uchun tenglik o`rinli emas. 2-teorema: Agar (1) tenglamada ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 > 1 bo`lib, с ⋮ 𝑑𝑑 bo`lsa, u holda (1) tenglama
𝑎𝑎𝑥𝑥 1 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
1 = 𝑐𝑐
1 (2)
tenglamaga teng kuchli, bu yerda ( 𝑎𝑎 1 , 𝑏𝑏 1 ) = 1.
3-teorema: Agar ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 bo`lsa, u holda
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 (3) tenglamani qanoatlantiruvchi x va y butun sonlar mavjud. Isboti: Qoldiqli bo`lishning Evklid algoritmiga ko`ra
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑞𝑞 1 + 𝑟𝑟
1 , 0 ≤ 𝑟𝑟 1
𝑏𝑏 = 𝑟𝑟
1 𝑞𝑞 2 + 𝑟𝑟 2 , 0 ≤ 𝑟𝑟 2 < 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 1 = 𝑟𝑟 2 𝑞𝑞 3 + 𝑟𝑟 3, 0 ≤ 𝑟𝑟 3 < 𝑟𝑟 2 , ……………………………………………… (4) 𝑟𝑟
𝑛𝑛−2 = 𝑟𝑟
𝑛𝑛−1 𝑞𝑞 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 𝑛𝑛 , 0 ≤ 𝑟𝑟 𝑛𝑛 < 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1
𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 = 𝑟𝑟 𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛+1 + 0.
(4) tengliklardan quyidan yuqoriga qarab nazar tashlasak,
𝑟𝑟
= (𝑞𝑞 𝑛𝑛+1
, 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1
)=( 𝑟𝑟 𝑛𝑛 , 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 )= 𝑟𝑟
𝑛𝑛−1 , 𝑟𝑟
𝑛𝑛−2 ) = ⋯ … . = (𝑟𝑟 3 , 𝑟𝑟
2 ) = ( 𝑟𝑟 1 , 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ekanligini ko`ramiz. Agarda (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑑𝑑 deb olsak, u holda (4) tengliklarda yuqoridan quyiga qarab nazar tashlasak,
𝑟𝑟 1 ⋮ 𝑑𝑑 ⇒ 𝑟𝑟 2 ⋮ 𝑑𝑑 ⇒ 𝑟𝑟 3 ⋮ 𝑑𝑑 ⇒ ⋯ ⇒ 𝑟𝑟 𝑛𝑛 ⋮ 𝑑𝑑
ekanligini ko`ramiz. Demak, 𝑟𝑟 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 bo`lib, ( 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 bo`lgani uchun 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 tenglamani qanoatlantiruvchi 𝑎𝑎 va 𝑏𝑏 sonlar mavjudligi (4)dan kelib chiqadi. Haqiqatan ham:
𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 𝑛𝑛 = 𝑟𝑟
𝑛𝑛 − 2 − 𝑟𝑟
𝑛𝑛 − 1 𝑞𝑞
𝑛𝑛 − 1 == 𝑟𝑟 𝑛𝑛 − 2 − (𝑟𝑟 𝑛𝑛 − 3 − 𝑟𝑟
𝑛𝑛 − 2 𝑞𝑞
𝑛𝑛 − 2) ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 = ⋯ … . . = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏. 1-misol. 1232 va 1672 sonlarining eng katta umumiy bo`luvchisini berilgan sonlar orqali chiziqli ifodalang. Yechish: 1672 = 1232 ∙ 1 + 440, 1232 = 440 ∙ 2 + 352, 440 = 352 ∙ 1 + 88, 352 = 88 ∙ 4 + 0 tengliklardan 88 = 440 − 352 ∙ 1 = 440 − (1232 − 440 ∙ 2) ∙ 1 = 440 ∙ 3 − 1232 ∙ 1 = (1672 − 1232 ∙ 1) ∙ 3 − 1232 ∙ 1 = 1672 ∙ 3 − 1232 ∙ 4 = 1672 ∙ 3 + 1232 ∙ (−4). Demak, 1672 ∙ 3 + 1232 ∙ (−4) = 88.
Bundan 𝑎𝑎 0 = 3, 𝑏𝑏
0 = −4 sonlar 1672𝑎𝑎 + 1232𝑏𝑏 = 88 tenglama yechimlari ekanligi ayon bo`ladi. 4-teorema: Agar (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1 bo`lsa, u holda
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1 (5) tenglama hech bo`lmaganda bitta yechimga ega. 5-teorema: Agar (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1 bo`lib, (𝑎𝑎 0 , 𝑏𝑏 0 ) juftliklar (1) tenglamani qanoatlantirsa, u holda bu tenglamaning barcha yechimlarini
𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 0 + 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 0 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 (6) formula bilan berish mumkin, bu yerda t- ixtiyoriy butun son. Isboti: (1) tenglama va (𝑎𝑎 0 , 𝑏𝑏 0 ) uning yechimiga ko`ra,
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 0 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
0 = 𝑐𝑐
tenglamani yozamiz. Bundan 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 0 ) + 𝑏𝑏(𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 0 ) = 0 yoki 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎
0 = −
𝑏𝑏 𝑎𝑎 (𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 0 ).
Buning chap tomoni butun son bo`lgani uchun o`ng tomoni ham butun son bo`lishi lozim. MATHEMATICS
64 Илмий хабарнома. Физика-математика тадқиқотлари, 2020, №1(3)
Demak, 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 0 = 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎- ixtiyoriy butun son. Bu holda 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 = −𝑏𝑏𝑎𝑎, 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 0 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 bo`lib, (6) formula orqali (1) uchun barcha yechimlarning ifodalanishi kelib chiqadi. 6-teorema: Agar (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1 bo`lsa, u holda (1) tenglamaning barcha butun sonli yechimlarini (5) tenglamaning ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦
0 ) yechimlari orqali
𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑥𝑥 0 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑦𝑦 0 – 𝑎𝑎𝑎𝑎 (7) formula bilan ifodalash mumkin. Isboti: 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑐𝑐𝑥𝑥 0 + 𝑏𝑏𝑎𝑎) + 𝑏𝑏(𝑐𝑐𝑦𝑦 0 – 𝑎𝑎𝑎𝑎) = 𝑐𝑐(𝑎𝑎𝑥𝑥 0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦
0 ) = 𝑐𝑐 ∙ 1 = 𝑐𝑐 . 2-misol. 37𝑥𝑥 − 256𝑦𝑦 = 3 tenglamani butun sonlarda yeching. Yechish: 256 = 37 ∙ 6 + 34; 37 = 34 ∙ 1 + 3; 34 = 3 ∙ 11 + 1 bo`lgani uchun
1 = 34 − 3 ∙ 11 = 34 − (37 − 34 ∙ 1) ∙ 11 = 34 ∙ 12 − 37 ∙ 11 == (256 − 37 ∙ 6) ∙ 12 − 37 ∙ 11 = = 37 ∙ (−83) − 256 ∙ (−12),
ya`ni 37 ∙ (−83) − 256 ∙ (−12) = 1 dan 𝑥𝑥 0 = −83 , 𝑦𝑦 0 = −12 va 𝑐𝑐 = 3 bo`lganligi uchun (7) ga ko`ra berilgan tenglamaning yechimlari 𝑥𝑥 = −249 − −256𝑎𝑎 ; 𝑦𝑦 = −36 − 37𝑎𝑎 dan iborat. 2. Endi 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 tenglamaning yechimlarini topish uchun 𝑎𝑎 𝑏𝑏 kasrni munosib kasrlar orqali amalga oshirish mumkinligini ko`rsatamiz. Evklid algoritmidan foydalanamiz:
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑞𝑞 1 + 𝑟𝑟
1 , 𝑟𝑟 1
𝑏𝑏 = 𝑟𝑟
1 𝑞𝑞 2 + 𝑟𝑟 2 , 𝑟𝑟 2 < 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 1 = 𝑟𝑟 2 𝑞𝑞 3 + 𝑟𝑟 3, 𝑟𝑟 3 < 𝑟𝑟 2 , ……………………………………. (4) 𝑟𝑟
𝑛𝑛−2 = 𝑟𝑟
𝑛𝑛−1 𝑞𝑞 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 𝑛𝑛 , 𝑟𝑟 𝑛𝑛 < 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1
𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 = 𝑟𝑟 𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛+1 + 0 𝑟𝑟 𝑛𝑛 = 0
bo`lish jaroyonida hosil bo`lgan qoldiqlar
𝑏𝑏 > 𝑟𝑟
1 > 𝑟𝑟
2 > 𝑟𝑟
3 > ⋯ … ≥ 0
tengsizliklarni qanoatlantiradi. Hosil bo`lgan tengliklarni 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑞𝑞 1 + 1 𝑏𝑏 𝑟𝑟 2
𝑏𝑏 𝑟𝑟 2 = 𝑞𝑞 2 + 1 𝑟𝑟 2 𝑟𝑟 3
… … … … … … … 𝑟𝑟 𝑛𝑛−2
𝑟𝑟 𝑛𝑛−1
= 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1
+ 1 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 𝑟𝑟 𝑛𝑛
𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 𝑟𝑟 𝑛𝑛 = 𝑞𝑞 𝑛𝑛
tengliklar bilan almashtirib, 𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑞𝑞
1 + 1 𝑞𝑞 2 + 1 𝑞𝑞 3 + 1 𝑞𝑞4+ ….. … + 1 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + 1 𝑞𝑞𝑛𝑛
ifodani hosil qilamiz. Zanjirli kasrlning ba`zi bog`inlarini qoldirib, qolgan bog`inlarini tashlab yuborishdan hosil bo`lgan kasrlarni, ya`ni munosib kasrlarni hosil qilamiz.
𝑆𝑆 1 = 𝑞𝑞 1
𝑎𝑎 𝑏𝑏 , 𝑆𝑆 3 = 𝑞𝑞
1 + 1 𝑞𝑞 2 + 1 𝑞𝑞 3 < 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑆𝑆 2 = 𝑞𝑞 1 + 1 𝑞𝑞 2 > 𝑎𝑎 𝑏𝑏 , 𝑆𝑆 4 = 𝑞𝑞 1 + 1 𝑞𝑞 2 + 1 𝑞𝑞 3 + 1 𝑞𝑞4 > 𝑎𝑎 𝑏𝑏 va hokazo munosib kasrlarni hosil qilamiz. Hosil qilinishiga ko`ra:
𝑆𝑆
< 𝑆𝑆 3
2𝑘𝑘−1
𝑎𝑎 𝑏𝑏 ; 𝑆𝑆 2 > 𝑆𝑆 4 >……> 𝑆𝑆
2𝑘𝑘 > 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ,
𝑘𝑘- munosib kasr, 𝑆𝑆 𝑘𝑘 ni
𝑆𝑆 𝑘𝑘 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘 𝒬𝒬 𝑘𝑘 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 ko`rinishida olib, munosib kasrlarning surat va maxrajlarini hosil qilish qoidalarini ko`rsatmiz.
𝑆𝑆
= 𝑞𝑞 1 = 𝑞𝑞 1 1 = 𝑃𝑃 1 𝒬𝒬 1 ; 𝑃𝑃 1 = 𝑞𝑞
1 ; 𝒬𝒬 1 = 1
𝑆𝑆 2 = 𝑞𝑞 1 + 1 𝑞𝑞 2 = 𝑞𝑞 1 𝑞𝑞 2 + 1
𝑞𝑞 2 = 𝑃𝑃 2 𝒬𝒬 2 ; 𝑃𝑃 2 = 𝑞𝑞
1 𝑞𝑞 2 + 1 ; 𝒬𝒬 2 = 𝑞𝑞 2
𝑆𝑆 3 = 𝑞𝑞 1 + 1 𝑞𝑞 2 + 1 𝑞𝑞 3 = 𝑞𝑞 1 𝑞𝑞 2 𝑞𝑞 3 + 𝑞𝑞
1 + 𝑞𝑞
3 𝑞𝑞 2 𝑞𝑞 3 + 1 = 𝑃𝑃 3 𝒬𝒬 3 ; 𝑃𝑃 3 = 𝑞𝑞
1 𝑞𝑞 2 𝑞𝑞 3 + 𝑞𝑞 1 + 𝑞𝑞
3 ;
𝒬𝒬 3 = 𝑞𝑞 2 𝑞𝑞 3 + 1.
Bu tengliklardan 𝑃𝑃 3 = 𝑃𝑃
2 𝑞𝑞 3 +𝑃𝑃 1 ; 𝒬𝒬 3 = 𝒬𝒬
2 𝑞𝑞 3 +𝒬𝒬 1
munosabatlarni hosil qilamiz. Matematik induksiya metodidan foydalanib, barcha k≥3 lar uchun
𝑃𝑃
= 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1
𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 𝑃𝑃 𝑘𝑘−2 ; 𝒬𝒬 𝑘𝑘 = 𝒬𝒬
𝑘𝑘−1 𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 𝒬𝒬 𝑘𝑘−2
munosabatlar bajarilishini ko`rsatamiz. Munosib kasrlarning aniqlanishiga ko`ra 𝑆𝑆 𝑘𝑘 munosib kasrda 𝑞𝑞 𝑘𝑘 ni 𝑞𝑞
𝑘𝑘 + 1 𝑞𝑞 𝑘𝑘 +1 ga almashtish natijasida 𝑆𝑆 𝑘𝑘 munosib kasr 𝑆𝑆 𝑘𝑘+1 munosib kasrga o`tadi. Induktiv mulohazalarga ko`ra,
𝑆𝑆
= 𝑃𝑃 𝑘𝑘 𝒬𝒬 𝑘𝑘 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1
𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 𝑃𝑃 𝑘𝑘−2 𝒬𝒬 𝑘𝑘−1 𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 𝒬𝒬 𝑘𝑘−2
dan
𝑆𝑆 𝑘𝑘+1 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘+1 𝒬𝒬 𝑘𝑘+1 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1 (𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 1 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 ) + 𝑃𝑃 𝑘𝑘−2
𝒬𝒬 𝑘𝑘−1(
𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 1 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 ) + 𝒬𝒬 𝑘𝑘−2
= 𝑃𝑃 𝑘𝑘 + 1 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1 𝒬𝒬 𝑘𝑘 + 1 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 𝒬𝒬 𝑘𝑘−1
= 𝑃𝑃 𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1
+ 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1
𝒬𝒬 𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 + 𝒬𝒬
𝑘𝑘−1 ,
bundan esa
𝑃𝑃 𝑘𝑘 = 𝑃𝑃
𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 + 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1
; 𝒬𝒬 𝑘𝑘 = 𝒬𝒬 𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘+1 + 𝒬𝒬 𝑘𝑘−1
.
Matematik induksiya metodidan foydalanib, barcha k≥3 lar uchun 𝑃𝑃 𝑘𝑘 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1
𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 𝑃𝑃 𝑘𝑘−2 ; 𝒬𝒬 𝑘𝑘 = 𝒬𝒬
𝑘𝑘−1 𝑞𝑞 𝑘𝑘 + 𝒬𝒬 𝑘𝑘−2
МАТЕМАТИКА 65 Download 1.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|