Достижения вузовской науки 2023

Abdurakhmonov Zhavokhir Yorkulovich 
 
Scientific adviser: Ibrokhimov Javokhir Bakhromovich 
 
Abstract: As you know, there are several ways to calculate the integral of complex rational fractions. For ex-
ample: Horner's scheme, methods using differentiation and the Heaviside method. Based on the type and 
state of the given rational function, we use the most convenient method. If the denominator of a rational frac-
tion is (x − a)
n
, it is convenient to decompose this rational fraction into simple fractions using the Horner 
scheme and then integrate. 
Keywords: Rational function, Horner's scheme, integration methods, simple fractions, n-th degree polynomial, 
polynomial 
 
Любой n-уровневый 
𝑃
𝑛
(𝑥) = 𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
+ 𝑎
𝑛−1
𝑥
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎
2
𝑥
2
+𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
; (𝑎
𝑛
≠0) 
Многочлен можно разложить по степеням бинома x-a: 
 

---

14 
ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
международный научно-исследовательский конкурс | МЦНС «НАУКА И ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Таблица 1 
𝑥
𝑛
𝑥
𝑛−1
𝑥
𝑛−2
… 
𝑥
1
𝑥
0
a 
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛−1
𝑎
𝑛−2
… 
𝑎
1
𝑎
0
𝑥
0
a 
𝑎
𝑛
𝑎𝑎
𝑛
+ 𝑎
𝑛−1
= 𝑏
𝑛−1
𝑎𝑏
𝑛−1
+ 𝑎
𝑛−2
= 𝑏
𝑛−2
… 
𝑎𝑏
2
+ 𝑎
1
= 𝑏
1
𝑎𝑏
1
+ 𝑎
0
= 𝐴
0
𝑥
1
a 
𝑎
𝑛
𝑎𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛−1
= 𝑐
𝑛−1
𝑎𝑐
𝑛−1
+ 𝑏
𝑛−2
= 𝑐
𝑛−2
… 
𝑎𝑐
2
+ 𝑏
1
= 𝐴
1
𝑥
2
a 
𝑎
𝑛
𝑎𝑎
𝑛
+ 𝑐
𝑛−1
= 𝑑
𝑛−1
𝑎𝑑
𝑛−1
+ 𝑐
𝑛−2
= 𝑑
𝑛−2
… 
… 
... 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
𝑥
𝑛−2
a 
𝑎
𝑛
𝑎𝑎
𝑛
+ 𝑓
𝑛−1
= ℎ
𝑛−1
𝑎ℎ
𝑛−1
+ 𝑙
𝑛−2
= 𝐴
𝑛−2
… 
𝑥
𝑛−1
a 
𝑎
𝑛
𝑎𝑎
𝑛
+ ℎ
𝑛−1
= 𝐴
𝑛−1
… 
𝑥
𝑛
a 𝑎
𝑛
= 𝐴
𝑛
𝑃
𝑛
(𝑥)
̃ = 𝐴
𝑛
(𝑥 − 𝑎)
𝑛
+ 𝐴
𝑛−1
(𝑥 − 𝑎)
𝑛−1
+ ⋯ + 𝐴
2
(𝑥 − 𝑎)
2
+𝐴
1
(𝑥 − 𝑎) + 𝐴
0 
,
где 𝐴
𝑖
(𝑖 = 0, 𝑛
̅̅̅̅̅) неизвестные коэффициенты. Используя последовательное применение схемы 
Горнера, приведем таблицу для нахождения неизвестных коэффициентов 𝐴
𝑖
(𝑖 = 0, 𝑛
̅̅̅̅̅): (табл. 1) 
𝑃
𝑛
(𝑥) = 𝐴
𝑛
(𝑥 − 𝑎)
𝑛
+ 𝐴
𝑛−1
(𝑥 − 𝑎)
𝑛−1
+ ⋯ + 𝐴
2
(𝑥 − 𝑎)
2
+𝐴
1
(𝑥 − 𝑎) + 𝐴
0 
, 
Делим полином на (𝑥 − 𝑎)
𝑛+1
в результате 
𝑃
𝑛
(𝑥)
(𝑥−𝑎)
𝑛+1
правильная рациональная дробь превра-
щается в простую дробь мы будем распространять: 
𝑃
𝑛
(𝑥)
(𝑥 − 𝑎)
𝑛+1
=
𝐴
𝑛
(𝑥 − 𝑎)
+
𝐴
𝑛−1
(𝑥 − 𝑎)
2
+ ⋯ +
𝐴
2
(𝑥 − 𝑎)
𝑛−2
+
𝐴
1
(𝑥 − 𝑎)
𝑛−1
+
𝐴
0
(𝑥 − 𝑎)
𝑛+1
Пример 1. Разложите эту правильную рациональную дробь 
𝑥
4
−2𝑥
2
+3
(𝑥+1)
5
в простую дробь. 
Решение. Используя схему Горнера, мы расширяем многочлен
𝑃
𝑛
(𝑥) = 𝑥
4
− 2𝑥
2
+ 3 на степени двучлена x+1 Сначала составим следующую таблицу: (табл. 2) 
 
Таблица 2 
На основании таблицы 𝑃
4
(𝑥) = (𝑥 + 1)
4
− 4(𝑥 + 1)
3
+4(𝑥 + 1)
2
+0(𝑥 + 1)
1
+2 Составляем много-
член. Теперь, разделив многочлен 𝑃
4
(𝑥) на (𝑥 + 1)
5
получим разложение заданной правильной ра-
циональной дроби через простые дроби: 
𝑃
4
(𝑥)
(𝑥+1)
5
=
1
(𝑥+1)
1
−
4
(𝑥+1)
2
+
4
(𝑥+1)
3
+
2
(𝑥+1)
5
. 
𝑥
4
𝑥
3
𝑥
2
𝑥
1
𝑥
0
1 
0 
-2 
0 
3 
𝑥
0
-1 
1 
-1 
-1 
1 
𝐴
0
=2 
𝑥
1
-1 
1 
-2 
1 
𝐴
1
=0 
𝑥
2
-1 
1 
-3 
𝐴
2
= 4 
𝑥
3
-1 
1 
𝐴
3
= -4 
𝑥
4
-1 
𝐴
4
=1 

---

ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
15 
www.naukaip.ru
Пример 2. Разложите эту правильную рациональную дробь ∫
𝑥
2
−𝑥+1
(𝑥−2)
5
dx в простую дробь[1-5]. 
Решение. Используя схему Горнера, мы расширяем полином 
𝑃
𝑛
(𝑥) = 𝑥
2
− 𝑥 + 1 на степени бинома x-2 Сначала составим следующую таблицу: (табл. 3) 
Таблица 3 
𝑥
2
𝑥
1
𝑥
0
1 
-1 
1 
𝑥
0
2 
1 
1 
𝐴
0
=3 
𝑥
1
2 
1 
𝐴
1
=3 
𝑥
2
2 
𝐴
2
= 1 
На основании таблицы, 𝑃
2
(𝑥) = (𝑥 − 2)
2
+ 3(𝑥 − 2)
1
+2
делаем полином. Теперь, разделив многочлен 𝑃
2
(𝑥) на (𝑥 − 2)
5
получим разложение задан-
ной правильной рациональной дроби через простые дроби: 
𝑃
4
(𝑥)
(𝑥−2)
5
=
(𝑥−2)
2
(𝑥−2)
5
+
3(𝑥−2)
1
(𝑥−2)
5
+
2
(𝑥−2)
5
≡≫ 
𝑃
4
(𝑥)
(𝑥−2)
5
=
1
(𝑥−2)
3
+
3
(𝑥−2)
4
+
2
(𝑥−2)
5
∫
𝑥
2
−𝑥+1
(𝑥−2)
5
dx = ∫
1
(𝑥−2)
3
𝑑𝑥 + ∫
3
(𝑥−2)
4
𝑑𝑥 + ∫
2
(𝑥−2)
5
𝑑𝑥=
−1
2(𝑥−2)
2
- 
1
(𝑥−2)
3
- 
1
2(𝑥−2)
4
. 
Пример 3. Разложите эту правильную рациональную дробь ∫
𝑥
4
−2𝑥
2
+3
(𝑥−1)
5
𝑑𝑥 в простую дробь. 
Решение. Используя схему Горнера, мы расширяем полином 
𝑃
𝑛
(𝑥) = 𝑥
4
− 2𝑥
2
+ 3 на степени бинома x-1 Сначала составим следующую таблицу: (табл. 4) 
Таблица 4 
𝑥
4
𝑥
3
𝑥
2
𝑥
1
𝑥
0
1 
0 
-2 
0 
3 
𝑥
0
1 
1 
1 
-1 
-1 
𝐴
0
=2 
𝑥
1
1 1 
2 
1 
𝐴
1
=0 
𝑥
2
1 
1 
3 
𝐴
2
= 4 
𝑥
3
1 
1 
𝐴
3
= 4 
𝑥
4
-1 
𝐴
4
=1
На основании таблицы, 𝑃
4
(𝑥) = (𝑥 − 1)
4
+ 4(𝑥 − 1)
3
+4(𝑥 − 1)
2
+0(𝑥 − 1)
1
+2 Составляем 
многочлен[6-10].Теперь, разделив многочлен 𝑃
4
(𝑥) на (𝑥 − 1)
5
получим разложение заданной пра-
вильной рациональной дроби через простые дроби: 
𝑃
4
(𝑥)
(𝑥−1)
5
=
1
(𝑥−1)
1
+
4
(𝑥−1)
2
+
4
(𝑥−1)
3
+
2
(𝑥−1)
5
≡≫ 
∫
𝑥
4
−2𝑥
2
+3
(𝑥−1)
5
𝑑𝑥 = ∫
1
(𝑥−1)
1
𝑑𝑥 + ∫
4
(𝑥−1)
2
𝑑𝑥 + ∫
4
(𝑥−1)
3
𝑑𝑥 + ∫
2
(𝑥−1)
5
𝑑𝑥= 
=ln(𝑥 − 1)
1
- 
4
(𝑥−1)
1
-
2
(𝑥−1)
2
- 
1
2(𝑥−1)
4
. 
 
Список источников 
 
1. Xurramov Y., Polatov B., Ibrohimov J. Kophadning keltirilmaslik alomati //Zamonaviy innovatsion 
tadqiqotlarning dolzarb muammolari va rivojlanish tendensiyalari: yechimlar va istiqbollar. – 2022. – Т. 1. – №. 
1. – С. 399-401. 

---

16 
ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
международный научно-исследовательский конкурс | МЦНС «НАУКА И ПРОСВЕЩЕНИЕ»
2. Polatov B., Xurramov Y., Ibrohimov J. Murakkab funksiyalardan olingan aniq integralni taqribiy 
hisoblash //Zamonaviy innovatsion tadqiqotlarning dolzarb muammolari va rivojlanish tendensiyalari: yechimlar 
va istiqbollar. – 2022. – Т. 1. – №. 1. 
3. Полатов Б., Хуррамов Ё., Иброхимов Д. Matematika darslarida muammoli oqitish 
texnologiyasidan foydalanish //Современные инновационные исследования актуальные проблемы и 
развитие тенденции: решения и перспективы. – 2022. – Т. 1. – №. 1. – С. 401-404. 
4. Sobirovich P. B. Darajali Geometriyani Algebraik Tenglamalarda Qo ‘Llab Asimptotik Yechimlarini 
Topish //E Conference Zone. – 2022. – С. 166-168. 
5. Рабимкул, А., Иброҳимов , Ж. Б. ў., Пўлатов, Б. С., & Нориева, А. Ж. қ. (2023). 
АРГУМЕНТЛАРНИ ГУРУҲЛАРГА АЖРАТИБ БАҲОЛАШ УСУЛИДА КЎП ПАРАМЕТРЛИ НОЧИЗИҚЛИ 
РЕГРЕССИЯ ТЕНГЛАМАЛАРИНИ ҚУРИШ МАСАЛАЛАРИ. Educational Research in Universal 
Sciences, 2(2), 174–178. Retrieved from http://erus.uz/index.php/er/article/view/1704 
6. Po‘latov, B., & Ibrohimov, J. (2023). BA’ZI RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASHDA 
OSTRAGRADSKIY USULIDAN FOYDALANISH. Talqin Va Tadqiqotlar, 1(21). извлечено от 
http://talqinvatadqiqotlar.uz/index.php/tvt/article/view/377 
7. Ibrohimov Javohir Bahrom o‘g‘li. (2022). OCHIQ CHIZIQLI QAVARIQ TO‘PLAMDA POLINOMIAL 
QAVARIQLIKNING YETARLI SHARTI. International Journal of Contemporary Scientific and Technical Re-
search, 1(2), 363–365. Retrieved from https://journal.jbnuu.uz/index.php/ijcstr/article/view/203  
8. Ibrohimov Javohir Bahrom o‘g‘li, & Po‘latov Baxtiyor Sobirovich. (2022). OCHIQ CHIZIQLI 
QAVARIQ TO‘PLAMDA POLINOMIAL QAVARIQLIK. PEDAGOGS Jurnali, 10(3), 96–104. Retrieved from 
http://pedagoglar.uz/index.php/ped/article/view/1184  
9. Javohir, I. . B. . o‘g‘li, & Muxammadiyev, G. J. . o‘g‘li. (2023). AYRIM IRRATSIONAL 
KO‘RINISHDAGI 
INTEGRALLARNI 
EYLER 
ALMASHTIRISHLARI 
YORDAMIDA 
RATSIONALLASHTIRISH. Educational Research in Universal Sciences, 2(2), 237–241. Retrieved from 
http://erus.uz/index.php/er/article/view/1994  
10. Ibrohimov Javohir, Karimov Nu’monjon, Axmadova Shaxina, Karimova Mohichehra, Choriyeva 
Nozimaxon. 
(2023). 
XEVISAYD 
USULI 
YORDAMIDA 
RATSIONAL 
FUNKSIYALARNI 
INTEGRALLASH. International Journal of Contemporary Scientific and Technical Research, 416–418. Re-
trieved from https://journal.jbnuu.uz/index.php/ijcstr/article/view/627