Е. В. Воробьева

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Связь между молярной ^с_ и удельной c теплоемкостями ^с_ ^{ c} . Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном

давлении соответственно равны с_V
 ⁱ R; с
₂ P
_ i  2 _{R .}
2

Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном дав-

лении равны c
 ^{i R} ; c
_ i  2 R _.

^V 2  ^P 2 
^{Уравнение Майера} C_P  C_V  R^.
Показатель адиабаты   ^cP  ^CP  ^{i  2} .
c_V C_V i
Внутренняя энергия идеального газа U  ^m C T .
_ V
Элементарная работа dA  p  dV .
Работа, связанная с изменением объема, в общем случае вычисляет-
V₂
^{ся по формуле A } _ ^{P dV , где} V₁ ^{– начальный объем газа,} V₂  ^{конечный}
V₁
объем газа.

Работа газа при:
А) изобарном процессе
^{A  P} ^{V2 V1}  ^;

Б) при изотермическом процессе A  ^m RT n ^V2 ;


В) при адиабатном процессе
V₁
A  ^m C

^{T  T} 

или

RT m ^


_{ V }1 _
 V 1 2

A  ^{1 }1  _ ¹ _
^{ , где} T₁

• 
  ^{начальная температура газа,} T₂
  
• 
  ко-
  

 1  _
 ^V2  ^_

нечная температура газа.
Уравнение Пуассона (уравнение состояния при адиабатном процес- ^се) PV ^  const ^.
Связь между начальным и конечным значениями параметров состо-
яний газа при адиабатном процессе

 1
1

P_{1 } ^ V₂ ^ _; T_{2 } ^ V₁ ^


_; T_{2 } ^ P₂ ^{ }



_P  _V  _T  _V 
_T  _P 

2  1  1  2 
1  1 

Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

^{Q  U  A, где Q – количество теплоты, сообщенное газу,} U

• 
  измене-
  

ние его внутренней энергии, A – работа, совершаемая против внешних сил. Применение первого начала термодинамики для изопроцессов:

изопро- цесс	Изменение внутренней энергии	работа	Первый закон термодинами- ки
Т=const	dU  0	A    R T  n ^V^2 V1	dQ  dA
V=const	dU  ^i  R  dT  2  cV    dT	A=0	dQ  dU
P=const	dU  ^i  R  dT  2  cV    dT U  ^ip  (V  V )  2 2 1  ^i  R  (T  T ) 2 2 1	A  p  (V2  V1)     R  (T2  T1)	dQ  dU  dA
Адиаба- тичес- кий	dU  ^i  R  dT  2  cV    dT	dA  dU   ^i  R  dT  2  cV    dT A  ^i  R  (T  T )  2 2 1 p V ^^V ^ 1 ^  ^1 ^1  ^1  ^1 ^  1   V2  	dU  dA

Примеры решения задач

1. 
   Кислород массой 1 кг находится при температуре 320 К. Опреде- лить энергию молекул кислорода и среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.
   

Дано:	Решение:
m 1^кг  0, 032 кг/моль Т  320 ^К i  5 iвр  2	Внутренняя энергия молекулы определя- ется формулой U  ^i^mT , а вращательная R 2  ^энергия^–^^^^i^kT^N^,^гдеN ^–^число вр вр 2 молекул. Число молекул найдем из соотношения ^m^^N, откуда N  N ^m.  N ^a  a
U  ?  вр  ?

Тогда    i
kT _{ N}
^m  i
m _ RT _.

вр вр ₂ a _ вр _{ 2}
U  ⁵  ¹ 8,31 320  208 кДж .
2 0,032
   ^{2 18,31 320}  83,1 кДж .
^вр 0,032  2
Ответ: U  208 кДж ;  _вр  83,1 кДж .

2. 
   Дана смесь газов, состоящая из неона массой 4 кг и водорода мас- сой 1 кг. Газы считать идеальными. Определить удельные теплоемко- сти смеси газов в изобарическом и изохорическом процессах.
   

Дано:	Решение:
i1  3 i2  5 1  0,04^кг/моль 2  0,002 ^кг/моль т1  4 ^кг т2 1 ^кг	Количество теплоты, затраченное на нагрева- ^ние смеси^газовQ  Q1  Q2 ^, ^гдеQ1  c1  m1 T Q2  c2  m2 T Q  c  m T ^тогда^c^^(^m^1^^m^2^)^^^T^^c^1^m^1^^c^2^m^2^^T откуда c  ^c^1^m^1^^c^2^m^2. m1  m2
сР ? cV ?

Теплоемкости при изохорном и изобарном процессах, соответствен-

но, равны c
 ^{i R} ; c
_ i  2 _ R _.

^V 2  ^P 2 
i ^m1  i ^m2
1 _ 2 _
Тогда ^c_V ^{ 1 2  R  2326,8 Дж / кг  К}
2(m₁  m₂ )
(i  2)  ^m1  (i  2)  ^m2
1 _ 2 _
^c_Р ^{ 1 2  R  4155 Дж / кг  К} .
2(m₁  m₂ )
^Ответ: c_V  2326,8 Дж / кг  К ^; c_Р  4155 Дж / кг  К ^.

3. 
   Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в про- цессе изохорного нагревания кислорода объемом 20 л его давление из- менилось на 100 кПа.
   

   Дано:	Решение:
   V 20 л р  100 кПа	При изохорическом процессе V  const и A  p  V  0 Из первого закона термодинами- ки следует, что Q  U  ^i^m T . R 2  Из уравнения Менделеева-Клапейрона ^mR  T  V  p .  Следовательно, Q  V  p  5000 Дж. Ответ: Q  5000 Дж.
   Q  ?

4. 
   Азот массой 280 г расширяется в результате изобарного процес- са при давлении 1 МПа. Определить работу расширения газа и конеч- ный объем, если на расширение затрачена теплота 5 кДж, а начальная температура азота 290 К.
   

Дано:	Решение:
m  280 г  0, 028 кг/моль p  1МПа Q  5 кДж T1  290 К	Процесс протекает при постоянном давле- ^нии,^следовательно,^работа^A^^m^^R^^T^^T ^и  2 1 изменение внутренней энергии U  ^3 ^m R  T  ^3A 2  2
A ? V2 ?

По первому закону термодинамики Q  A  U  ⁵ A , откуда
2

A  ² Q  2000 Дж .
5
Из уравнения изобарного процесса ^V1  ^V2
следует, что V


 V  ^T1 .

T

2 1
^T1 ^T2 2

^{Выражая объем} V₁
из уравнения Менделеева-Клапейрона, и под-

ставляя полученное выражение в предыдущую формулу, получим
m  R T ²
_{V2 } 1
  R T₂
Из формулы для первого закона термодинамики
_T 2  Q


₂     T₁  314 К.
5 m R

Тогда V_2
 0, 28 8,31 290 _{ 0,00274 м3}
0,028 10⁶  314

Ответ: V₂
 2,74 10^3 м³,
A  2000 Дж.

5. 
   Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре 300 К и под давлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давле- ние увеличилось в 2 раза. Работа, затраченная на сжатие, равна – 432 кДж. Определите какой это газ.
   

Дано:	Решение:
т 1кг Т1  300 К р1  0,5 ^МПа р2  2 р1 А  432кДж	^Из^закона^Бойля-Мариоттаp1V1  p2V2 ^сле- дует, что ^V^2 ^p^1 ^1. V1 p2 2 Так как процесс протекает при постоянной температуре, то работу можно вычислить по формуле A  ^m R T  n ^V^2,  V1
 ?

откуда  

m  R T 


A
_n V₂ V₁


 0,004 кг/моль.

Ответ:  0, 004 кг/моль; газ – гелий.