Ehtimollar nazariyasi va matematik
Download 0.54 Mb. Pdf ko'rish
|
ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
- Bu sahifa navigatsiya:
- 5- mavzu bo‘yicha topshiriqlar
|
5.4. Agar zichlik funksiyasi 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( σ − − π σ = a x e x f
(bu yerda a, σ — erkli parametrlar) ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimoti normal deyiladi.
Normal taqsimlangan X uzluksiz tasodifiy miqdorning berilgan oraliqqa tushish ehtimolligi ushbu formula bo‘yicha hisoblanadi: σ − α − σ − β = β < < α
Ф a Ф X P ) ( , bu yerda t d e x Ф x t ∫ − π = 0 2 2 2 1 ) ( — Laplas funksiyasi. Chetlanishning absolyut qiymati δ musbat sondan kichik bo‘lishi ehtimolligi σ δ = δ < −
a X P 2 ) | | ( ga teng.
≥ λ < = λ − 0 , , 0 , 0 ) ( x agar e x agar x f x
(bu yerda λ — erkli parametr) ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimoti ko‘rsatkichli deyiladi: ∫ ∞ − =
x d x f x F ) ( ) ( formula asosida taqsimot funksiyasini topish mumkin: ≥ −
= λ
0 , 1 0 , 0 ) (
e x x F x
α ,
) oraliqqa tushish ehtimolligi uchun ushbu formula o‘rinli: β α
α λ − − = β < < α
e X P ) ( 26
Agar T — biror elementning to‘xtovsiz ishlash davomiyligi, λ esa to‘xtab qolishlar intensivligi (tezligi)ni ifodalovchi uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda
bu elementning to‘xtovsiz ishlash
vaqti t ni
taqsimot funksiyasi 0 ,
) ( ) ( > λ − =
= λ
t e t T P t F bo‘lgan ( u t vaqt davomida elementning to‘xtab qolish ehtimolligini aniqlaydi) ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deb hisoblash mumkin.
Ishonchlilik funksiyasi R(t) elementning t vaqt ichida to‘xtovsiz ishlash ehtimolligini aniqlaydi: t e t R λ − = ) (
1- m i s o l. X tasodifiy miqdor ushbu taqsimot funksiyasi orqali berilgan: > ≤ < ≤ = 1 , 1 , 1 0 , , 0 , 0 ) ( 2
agar x agar x x agar x F
a) 4 ta bog‘liqmas sinov natijasida X uzluksiz tasodifiy miqdor rosa 3 marta (0,25; 0,75) oraliqqa tegishli qiymat qabul qilishi ehtimolligini toping; b) zichlik funksiyasi f (x) ni toping; v) F(x) va f (x) larning grafiklarini chizing.
Y e ch i sh. a) Dastlab bitta sinov natijasida X uzluksiz tasodifiy miqdorning berilgan oraliqqa tushish ehtimolligini topamiz: 5 , 0 0625
, 0 5625 , 0 25 , 0 75 , 0 ) 25 , 0 ( ) 75 , 0 ( ) 75 , 0 25 , 0 ( 2 2 = − = − = − =
< F F X P
Endi 4 ta bog‘liqmas sinov natijasida X uzluksiz tasodifiy miqdor rosa 3 marta berilgan oraliqga tegishli qiymatni qabul qilish ehtimolligini topamiz. Buning uchun Bernulli formulasidan foydalanamiz: 25 ,
0625 , 0 4 5 , 0 5 , 0 ) 3 ( 3 3 4 3 3 4 4 = ⋅ = ⋅ ⋅ = = C q p C P
Shunday qilib, 25 , 0 ) 3 ( 4 =
b) f (x) = F ′ (x), demak,
> ≤ < ≤ = 1 , 0 , 1 0 , 2 , 0 , 0 ) (
agar x agar x x agar x f
1
1
9-shakl
27
b) 9-shakl. 2- m i s o l. X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
> ≤
≤ =
0 3 6 3 3 6 0 π π π π
agar , , x agar , x sin , x agar , ) x ( f
berilgan. Taqsimot funksiyasi F(x) ni toping. Y e ch i sh. ∫ ∞ − =
x d ) x ( f ) x ( F
Agar 6 π ≤ x bo‘lsa, f (x) = 0 bo‘ladi, demak, ∫ ∞
= =
x d ) x ( F 0 0 Agar
3 6 π π ≤
x bo‘lsa, u holda x cos cos x cos x cos xdx sin x d ) x ( F x x 3 2 3 3 0 3 3 0 6 6 6 − = − − = − = + ⋅ = ∫ ∫ ∞ − π π π π Agar
3 π > x bo‘lsa, u holda 1 2
3 0 0 3 3 0 3 6 3 3 6 6 = + − = + − = ⋅ + + ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∞ − π π π π π π π π cos cos x cos x d xdx sin x d ) x ( F x
Shunday qilib, > ≤
− ≤
3 1 3 6 3 6 0 π π π π
agar , , x agar , x cos , x agar , ) x ( F
3 - m i s o l. X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi Ox o‘qida x x e e C ) x ( f − + = 2
tenglik bilan berilgan. O‘zgarmas C parametrni toping.
Y e ch i sh. Zichlik funksiyasi 1 = ∫ ∞ ∞ − x d ) x ( f shartni qanoatlantirishi kerak. Shuning uchun ∫ ∫ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − = + = + , e e x d C x d e e C x x x x 1 2 2
28 bu yerdan ∫ ∞ ∞ − − + = x x e e x d C 2 1 . Quyidagi aniqmas integralni qaraymiz: ∫ ∫ ∫ = + = + = + −
x x x x x x arctge e e d e x d e e e x d 2 2 ) ( 1 ) ( 1 Xosmas integralni hisoblashga o‘tamiz: 2 4
0 4 ) ( lim
) ( lim | lim
| lim
lim lim
0 0 0 0 π π π π = − + − = − + + − = + = = + = + + = + ∞ → −∞ → ∞ → −∞ → ∞ ∞ − − ∞ → − −∞ → − ∫ ∫ ∫ arctgl arctge arctge arctgl e arctg e arctg e e x d e e x d e e x d b b a a b x b a x a a b x x b x x a x x
Shunday qilib, 2 π = + ∫ ∞ ∞ − − x x e e x d Demak, π π
2 2 1 = ⋅ = C
J: π 1 = C
4 – m i s o l. Bir soat t t , 1 0 ( ≤ ≤ birligi soatlarda hisoblangan vaqt) ichida bekatga faqat bitta avtobus kelib to‘xtaydi. Vaqtning t = 0 paytida bekatga kelgan yo‘lovchining avtobusni 10 minutdan ortiq kutmaslik ehtimolligi qanday? Ye ch i sh. Bekatga t = 0 paytda kelgan yo‘lovchining avtobusni kutish vaqtini [0; 1] oraliqda tekis taqsimlangan X tasodifiy miqdor sifatida qarash mumkin. Bu tekis taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: > ≤
≤ =
, 0 , 1 0 , 1 , 0 , 0 ) ( x agar x agar x agar x f
oraliqning uzunligi. 6 1 0 6 1 = − = − α β — qulaylik tug‘diruvchi elementar natijalar joylashgan 6 1 ; 0 oraliqning uzunligi. Shuning uchun 6 1
6 1 6 1 0 = = − − = < < a b X P α β J:
6 1
5 – m i s o l. X uzluksiz tasodifiy miqdor ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan: ≥
= −
, 2 , 0 , 0 ) ( 2 x agar e x agar x f x
Sinov natijasida X tasodifiy miqdorning (0,3; 1) oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 29 Y e ch i sh. 41 , 0 13534 , 0 54881 , 0 ) 1 3 , 0 ( 2 6 , 0 ) 1 2 ( ) 3 , 0 2 ( ≈ − = − = − = < < − − ⋅ − ⋅ − e e e e X P
J: 0,41 6 – m i s o l. Elementning to‘xtovsiz ishlash ehtimolligi ) 0 ( 02 , 0 ) ( 02 , 0 > = − t e t f t ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan. Elementning to‘xtovsiz 50 soat ishlashi ehtimolligini toping.
Y e ch i sh. Ishonchlilik funksiyasi t e t R λ − = ) ( dan foydalansak, 3679
, 0 ) 50 ( 1 50 02 , 0 ≈ = = − ⋅ − e e R
bo‘ladi. 7 – m i s o l. X tasodifiy miqdor ehtimolliklar taqsimotining a = 0, σ = 2 parametrli normal qonuniga bo‘ysunsin. X tasodifiy miqdorning (-2; 3) oraliqqa tushishi ehtimolligini aniqlang. Y e ch i sh. Ushbu − − − =
< σ α σ β β α a Ф a Ф X P ) ( formuladan foydalansak: ) 1
) 5 , 1 ( ) 1 ( ) 5 , 1 ( 2 0 2 2 0 3 ) 3 2 (
Ф Ф Ф Ф Ф X P + = − − = − − − − =
< −
Ф (x) funksiya jadvalidan: Ф (1,5) = 0,43319, Ф(1) = 0,34134
Demak,
P(-2 < X < 3) = 0,43319 + 0,34134 = 0,77453 J: 0,77453 8 – m i s o l. X tasodifiy miqdor normal qonun bo‘yicha taqsimlangan, taqsimotining a va σ parametrlar mos holda 20 va 10 ga teng. Absolyut qiymat bo‘yicha chetlanish uchdan kichik bo‘lish ehtimolligini toping. Y e ch i sh.
= < − σ δ δ
a X P 2 ) | | ( formuladan foydalanamiz. Shartga ko‘ra δ
= 3, a = 20, σ = 10. Demak, ) 3 , 0 ( 2 10 3 2 ) 3 | 20 | ( Ф Ф X P = = < − . Jadvaldan Ф (0,3) = 0,1179. Demak, izlanayotgan ehtimollik: 2358
, 0 ) 3 | 20 | ( = < −
P
5- mavzu bo‘yicha topshiriqlar
Download 0.54 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|